Кольцо (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.

Содержание

1 Определения
2 Связанные определения
3 Примеры
4 См. также
5 Ссылки

[править] Определения

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

$\forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right)$ — коммутативность сложения;
$\forall a, b, c \in R \left(a + (b + c) = (a + b) + c\right)$ — ассоциативность сложения;
$\exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
$\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)$ — существование обратного элемента относительно сложения;
$\forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.$ — дистрибутивность.

Кольца могут обладать следующими свойствами:

ассоциативность умножения: $\forall a, b, c \in R \left(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\right)$ (ассоциативное кольцо);
наличие единицы: $\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$ (кольцо с единицей);
коммутативность умножения: $\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$ (коммутативное кольцо);
отсутствие делителей нуля: $\forall a, b \in R \left(a \times b = 0 \Rightarrow a = 0 \or b = 0\right)$ .

Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

[править] Связанные определения

Непустое подмножество $A\subset R$ назывется подкольцом $R$ , если $A$ само является кольцом относительно операций, определенных в $R$ .
Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
Коммутативное тело называется полем.

[править] Примеры

$\mathbb{Z}$ — целые числа (с обычным сложением и умножением).
$\mathbb{Z}_n$ — кольцо вычетов по модулю натурального числа n.
$\mathbb{Q}$ — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
$\mathbb{R}$ — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
$\mathbb{R}[x_1,x_2,...,x_n]$ — кольцо многочленов от n переменных над полем $\mathbb{R}$ .
Кольцо когомологий