Множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

Существует два подхода к понятию множества.

Первый — так называемая «наивная теория множеств» (созданная Кантором, см. ниже историю). Дать определение чему-либо — это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество — как раз одно из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам.

Второй — аксиоматическая теория множеств.

[править] История определения

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.

В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты называются элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством $A(x)\!$ , обозначается $\{x|A(x)\}\!$ . Если некое множество $Y=\{x|A(x)\}\!$ , то $A(x)\!$ называется характеристическим свойством множества $Y\!$ .

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).