Абстрактная алгебра
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Абстра́ктная а́лгебра или вы́сшая а́лгебра — раздел математики, изучающий алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля, а также отображения между такими структурами.
Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от ненужных деталей и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются
Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.
Более сложные примерами алгебраических структур являются
- кольца и поля
- модули и векторные пространства
- ассоциативные алгебры и алгебры Ли
- решетки и булевы алгебры
Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.
Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.
[править] Некоторые важные понятия
- модуль над кольцом
- векторное пространство
- линейное отображение
- тензорное произведение
[править] См. также
[править] Литература
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3 тт. М.:Физматлит, 2001 и т. д.
- Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968
- ван-дер Варден Б. Л.. Алгебра. М.: Наука, 1979
- Винберг Э.Б. Курс алгебры.-М.:Факториал 2001, 544с.
- Винберг Э.Б. Начала алгебры.-М.:МЦНМО, МК НМУ, УРСС 1998, 192с.
- Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра Том 1.-М.:ИЛ 1963, 373с.
- Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра Том 2.-М.:ИЛ 1963, 438с.
- Курош А.Г. Общая алгебра.-158с. djvu
- Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.-М.:Наука 1984, 416с.
- Фейс К. Алгебра.Кольца, модули, категории Том 1.-М.:Мир 1977, 688с.
- Фейс К. Алгебра.Кольца, модули, категории Том 2.-М.:Мир 1979, 464с.
- Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.
- Михалёв А.В., Михалёв A.A. Начала алгебры.-М.:Интернет-Ун-т Информ. Технологий, 2005. - 144 с.
- Бурбаки Н. АЛГЕБРА. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра.-М., Физматгиз, 1962, 516с.
- Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. Группы Кокстера и Системы Титса. Группы, порождённые отображениями системы корней.-М., МИР, 1972.
- Atiyah M.F., Macdonald I.G. Introduction to Commutative Algebra
