Кільце (в алгебрі)
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В теорії кілець, підрозділі абстрактної алгебри, кільце є алгебраїчною структурою, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями подібними до властивостей додавання і множення цілих чисел.
Зміст |
[ред.] Історія
Див. Кілець теорія.
[ред.] Означення й нотація
Кільце є Абелевою (себто комутативною) групою (R, +) з другою бінарною операцією * такою, що для всіх a, b і c ∈ R,
- a * b ∈ R - Замкнутість
- a * (b*c) = (a*b) * c - Асоціативність
- a * (b+c) = (a*b) + (a*c) - Лівий * - дистрибутивний закон над +
- (a+b) * c = (a*c) + (b*c) - Правий * - дистрибутивний закон над +
і такою, що існує мультіплікативний нейтральний елемент або одиниця, себто, елемент 1 такий, що для всіх a ∈ R
- a*1 = 1*a = a
(Деякі автори нехтують вимогою наявності одиниці, натомість називають кільця з такою одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею. Також іноді нехтують вимогою асоціативності множення, натомість кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями. Надалі в цій енциклопедії вважаємо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність є частиною означення кільця).
Зважте на те, що комутативний закон множення, себто
- a*b = b*a для всіх a,b ∈ R
не входить до аксіом кільця, наведених вище. Кільця, що задовольняють вимогу комутативності (такі як кільце цілих чисел), називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними - див., наприклад, кільце матриць, описане нижче.
Нейтральний відносно додавання + елемент називають нульовим елементом кільця і позначають 0. Символ * зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, a+bc є скороченим записом a+(b*c). Обернений відносно додавання елемент кільця x записують як -x.
0=1 лише у випадку тривіального кільця {0}, що складається з одного елемента 0.
Якщо для двох елементів кільця a та b виконується рівність:
- ab = ba = 1
Кажуть, що b є оберненим елементом до a відносно множення. В цьому випадку елемент b однозначно визначається елементом a, і ми пишемо a-1 = b.
[ред.] Приклади
- Кільце цілих чисел з двома операціями - додаванням і відніманням. Це - комутативне кільце.
- Раціональні, дійсні та комплексні числа утворюють кільця, фактично, вони навіть є полями. Вони також є комутативними кільцями.
- Взагалі, будь-яке поле є комутативним кільцем.
- Якщо n - додатне ціле, тоді множина Z/nZ цілих з модулем n утворює кільце з елементів n.
[ред.] Прості теореми
З аксіом можна негайно вивести, що для всіх елементів кільця a і b маємо
- 0a = a0 = 0
- (-1)a = -a
- (-a)b = a(-b) = -(ab)
- (ab)-1=b-1 a-1, якщо a і b обидва мають обернені елементи; звідси множина всіх обернених елементів є закритою відносно множення * і утворює групу.
[ред.] Конструювання нових кілець з даних
- Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*).
- Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного r ∈ R. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R.
- Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями
- (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) та
- (r1, s1) * (r2, s2) = (r1*r2, s1*s2).
- Якщо дано кільце R та ідеал I кільця R, кільцо відношень (або фактор-кільце) R/I є множиною суміжних класів I разом з операціями
- (a+I) + (b+I) = (a+b) + I та
- (a+I) * (b+I) = (a*b) + I.
- Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток R над кільцем S з іншим кільцем T і отримати інше кільце, якщо S є центральним підкільцем R та T.
