Zbieżność punktowa ciągu funkcji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągu funkcji. Zobacz też: inne znaczenia zbieżności punktowej.

Definicja intuicyjna:
Zbieżność punktowa ciągu funkcji to własność ciągu funkcji, która oznacza, że dla każdego argumentu jest on zbieżny do pewnej funkcji.

Zbieżność punktowa ciągu funkcji – własność ciągu funkcji pomiędzy przestrzeniami metrycznymi opisywana w następujący sposób:

Niech $(X,ρ X)$ , $(Y,ρ Y)$ będą przestrzeniami metrycznymi i niech $f_{n}: X\longrightarrow Y$ (dla $n \in \mathbb{N}$ ). Powiemy, że ciąg funkcji $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f:X\longrightarrow Y$ jeżeli

$\forall _{x \in X}\;\; \forall _{\varepsilon > 0} \;\;\exists _{n_0\in \mathbb{N}}\;\; \forall _{n \geq n_0} \quad \rho_Y\left( f_n(x), f(x)\right)<\varepsilon.$

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób: dla każdego $x_0\in X$ istnieje granica $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f_n (x_0)$ i jest nią $f (x 0)$ .

Jeśli ciąg funkcji $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f$ to mówimy też, że $f$ jest granicą punktową ciągu $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}$ .

[edytuj] Przykłady

Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu).

Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła. Zielone (ciągłe) funkcje sinn(x) są punktowo zbieżne do nieciągłej funkcji czerwonej

Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła. Zielone (ciągłe) funkcje sinⁿ(x) są punktowo zbieżne do nieciągłej funkcji czerwonej

Granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład, rozważmy funkcje $f_n:[0,\pi]\longrightarrow [0,1]$ dane przez formułę $f n (x) = (sin(x)) n$ dla $x\in [0,\pi]$ (gdzie $n\in {\mathbb N}$ ). Ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f:[0,\pi]\longrightarrow [0,1]$ danej przez

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 &\ \ \ x\in [0,\pi]\setminus \{\pi/2\}\\ 1 &\ \ \ x = \pi/2 \\ \end{matrix} \right .$

Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np funkcję Dirichleta $I_{\mathbb Q}$ i połóżmy $f_n(x)=2^{-n}\cdot I_{\mathbb Q}(x)$ dla $x\in {\mathbb R}$ . Wówczas ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji stałej $f (x) = 0$ .
Przypuśćmy, że $f:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}$ jest funkcją różniczkowalną i $g$ jest funkcją pochodną funkcji $f$ . Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe $g_n:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ) takie, że ciąg $(g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest punktowo zbieżny do funkcji g.
Z twierdzenia Weierstrassa można wywnioskować, że każda funkcja ciągła $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ jest granicą punktową ciągu wielomianów.

[edytuj] Przykładowe własności

Jeśli $f_n,g_n:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ oraz ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji f a ciąg $(g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji g, oraz $\alpha,\beta\in {\mathbb R}$ to

ciąg $(\alpha\cdot f_n+\beta\cdot g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $\alpha\cdot f+\beta\cdot g$ ,

ciąg $(f_n\cdot g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f\cdot g$ ,

jeśli dodatkowo $g_n(x)\neq 0\neq g(x)$ dla wszystkich $x\in {\mathbb R}$ , to ciąg $\left(\frac{f_n}{g_n}\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $\frac{f}{g}$ .

Jeśli $f_n:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ , to f jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Zobacz więcej w sekcji o klasach Baire'a poniżej.)
Twierdzenie René-Louis Baire'a: Jeśli $X, Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $f_{n}: X\longrightarrow Y$ (dla $n \in \mathbb{N}$ ) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f:X\longrightarrow Y$ , to zbiór

$\{x\in X:$ funkcja f nie jest ciągła w punkcie $x\ \}$

jest pierwszej kategorii.

Z twierdzenia Dimitra Jegorowa wynika, że jeśli $f_n:[0,1]\longrightarrow{\mathbb R}$ są funkcjami mierzalnymi w senie miary Lebesgue'a i ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f:[0,1]\longrightarrow {\mathbb R}$ , to dla każdego dodatniego $ε > 0$ można wybrać zbiór $E\subseteq [0,1]$ taki, że $λ(E) > 1 - ε$ oraz ciąg $(f_n\upharpoonright E)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f\upharpoonright E$ .

[edytuj] Klasy Baire'a

Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury porządnych funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi. Można się umówić, że funkcje ciągłe są bardzo porządne, ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej porządne itd. Tak zasugerowany kierunek badań porządnych funkcji z przestrzeni euklidesowej ${\mathbb R}^n$ w liczby rzeczywiste ${\mathbb R}$ był zapoczątkowany przez francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a w 1899^[1]. Tematyka ta była rozwinięta przez Henri Lebesgue'a w 1905^[2]. Polski matematyk Stefan Banach uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w 1931^[3].

Poniżej, X i Y są przestrzeniami polskimi, ${\mathcal N}$ jest przestrzenią Baire'a.

Powiemy, że funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest $\Sigma^0_\xi$ -mierzalna (dla przeliczalnej liczby porządkowej $ξ < ω 1$ ) jeśli dla każdego zbioru otwartego $U\subseteq Y$ mamy że $f^{-1}[U]\in \Sigma^0_\xi(X)$ . (Definicja klas borelowskich $\Sigma^0_\xi$ jest podana w artykule o zbiorach borelowskich.)
Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje $\Sigma^0_1$ -mierzalne. Nietrudno sprawdza się też, że $f:X\longrightarrow Y$ jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy f jest $\Sigma^0_\xi$ -mierzalna dla pewnego $ξ < ω 1$ .
Można udowodnić, że funkcja $f:{\mathcal N}\longrightarrow Y$ jest $\Sigma^0_2$ -mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy f jest granicą punktową funkcji ciągłych.
Przez indukcję po liczbach porządkowych $ξ < ω 1$ określamy kiedy funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest klasy Baire'a ξ :

f jest klasy Baire'a 0 jeśli f jest ciągła,

f jest klasy Baire'a 1 jeśli f nie jest ciągła ale jest $\Sigma^0_2$ -mierzalna,

f jest klasy Baire'a ξ jeśli nie jest ona żadnej klasy ζ dla

ζ < ξ

, ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ gdzie każda

f n

jest klasy Baire'a

ζ n < ξ

Okazuje się, że jeśli $f:X\longrightarrow Y$ jest klasy Baire'a ξ, to jest ona $\Sigma^0_{\xi+1}$ -mierzalna. I na odwrót, jeśli $f:X\longrightarrow Y$ jest $\Sigma^0_{\xi+1}$ -mierzalna, to jest ona klasy Baire'a ζ dla pewnego $\zeta\leq\xi$ .

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

↑ Baire, R.: Sur les fonctions de variables réelles. "Annali di Mat." (3) 3 (1899), s. 1-123.
↑ Lebesgue, H.: Sur les fonctions représentables analytiquement. "Journ. de Math." (6) 1 (1905), s. 139-216.
↑ Banach, S.: Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen. "Fundamenta Mathematicae" 17 (1931), s. 283-295.