Ciągłość funkcji w punkcie

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ciągłość funkcji w punkcie to własność funkcji rozważana w matematyce, szczególnie w analizie matematycznej i topologii.

Spis treści

1 Intuicja
2 Funkcje rzeczywiste
- 2.1 Definicje
- 2.2 Własności i przykłady
3 Funkcje pomiędzy przestrzeniami topologicznymi
4 Zobacz też

[edytuj] Intuicja

Intuicyjnie, funkcja rzeczywista (tzn taka, dla której zarówno dziedzina jak i przeciwdziedzina są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych) jest ciągła w punkcie $a$ swojej dziedziny gdy zachodzi implikacja

jeśli argument funkcji różni się "mało" od

a

(jest blisko $a$ ), to wartość jaką funkcja przyjmuje dla tego argumentu różni się "niewiele" od

f (a)

(jest blisko $f (a)$ ).

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

[edytuj] Definicje

Augustin Louis Cauchy podał nastepującą definicję ciągłości funkcji w punkcie.

Przypuśćmy, że $X,Y\subseteq {\mathbb R}$ oraz $f:X\longrightarrow Y$ . Powiemy że funkcja

f

jest ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie $a\in X$ jeśli dla dowolnie małej dodatniej liczby $\varepsilon>0$ można znaleźć dodatnią liczbę

δ > 0

taką że $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ ilekroć $x\in X$ oraz

| x - a | < δ

; symbolicznie można ten warunek zapisać w sposób następujący

$\big(\forall\varepsilon>0\big)\big(\exists \delta>0\big)\big(\forall x\in X\big)\big(|x-a|<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(a)|<\varepsilon\big).$

Heinrich Eduard Heine zaproponował inne sformułowanie definicji ciągłości funkcji w punkcie.

Przypuśćmy, że $X,Y\subseteq {\mathbb R}$ oraz $f:X\longrightarrow Y$ . Powiemy że funkcja

f

jest ciągła w sensie Heinego w punkcie $a\in X$ jeśli dla każdego ciągu

(x n)

liczb z dziedziny

X

funkcji

f

który jest zbieżny do

a

ciąg wartości $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny do

f (a)

Obydwie definicje są jednak równoważne (przy założeniu bardzo słabej wersji AC, które to założenie nie jest potrzebne dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach). Warto zauważyć, że z obydwiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć że

funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest ciągła w punkcie $a\in X$ gdy albo

a

nie jest punktem skupienia zbioru

X

albo $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a).$

[edytuj] Własności i przykłady

Każda z funkcji elementarnych jest ciągła (czyli jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny).
Rozważmy funkcję $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ daną przez

f (0) = 0

oraz

f (x) = x sin(1 / x)

dla $x\neq 0$ .

Funkcja

f

jest ciągła w każdym punkcie $a\in {\mathbb R}$ .

Funkcja Dirichleta $D:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ określona przez

$D (x) = 0$ gdy $x$ jest liczbą niewymierną,

$D (x) = 1$ gdy $x$ jest liczbą wymierną,

jest nieciągła wszędzie (nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny, $x\in {\mathbb R}$ ).

Niech funkcja $h:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez $h(x)=x\;D(x)$ , gdzie $D$ oznacza, jak wyżej, funkcję Dirichleta. Funkcja $h$ jest ciągła tylko w jednym punkcie dziedziny, $x = 0$ .
Niech funkcja $u:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez $u(x)=\sin(x\pi)\;D(x)$ , gdzie $D$ oznacza, jak wyżej, funkcję Dirichleta. Funkcja $u$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny $x\in\mathbb Z\subset \mathbb R$ .
Funkcja Riemanna $R:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ określona jako

$R (x) = 0$ gdy $x$ jest liczbą niewymierną,

$R (x) = 1 / n$ gdy $x$ jest liczbą wymierną, równą ułamkowi nieskracalnemu $m / n$ i $n > 0$ ,

jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Niech funkcja $g:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie określona przez

$g (x) = 0$ gdy $x$ jest liczbą niewymierną lub zerem,

$g (x) = 2 - q$ gdy $x$ jest liczbą wymierną różną od zera którą można zapisać w postaci $x=\frac{p}{q}$ gdzie $p, q$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi, $q > 0.$

Funkcja

g

jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym a jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym.

Załóżmy $X,Y,Z\subseteq {\mathbb R}$ , $Y\subseteq Z$ . Przypuśćmy że $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą w punkcie $a\in X$ oraz $g:Z\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą w punkcie $f(a)\in Y\subseteq Z$ . Wówczas złożenie funkcji $g\circ f$ jest ciągłe w $a$ .
Jeśli $X\subseteq {\mathbb R}$ i $f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ są funkcjami ciągłymi w punkcie $a\in X$ , to funkcje $f+g,f-g,f\cdot g$ są ciągłe w $a$ . Jeśli dodatkowo $g(a)\neq 0$ , to również funkcja ilorazowa $f / g$ jest ciągła w $a$ .
Funkcja $f:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}$ jest ciągła w punkcie $a\in {\mathbb R}$ wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz każdego otoczenia punktu $f (a)$ zawiera otoczenie punktu $a$ .

[edytuj] Funkcje pomiędzy przestrzeniami topologicznymi

Definicje ciągłości podaną wcześniej dla funkcji rzeczywistych można bez kłopotu rozszerzyć na funkcje pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi, zastępując każde użycie wartości bezwzględnej przez użycie metryki w odpowiedniej przestrzeni. Gdy mamy do czynienia z funkcjami pomiędzy dowolnym przestrzeniami topologicznymi, tego typu podejście nie może działać, ale możemy odwołać się do charakteryzacji ciągłości przy użyciu otwartych otoczeń.

Jeżeli $f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją z przestrzeni topologicznej

X

do przestrzeni topologicznej

Y

oraz $x\in X$ , to funkcję

f

nazywamy ciągłą w punkcie $x$ gdy przeciwobraz dowolnego otoczenia punktu

f (x)

zawiera jakieś otoczenie punktu

x

Jeśli przestrzenie $X, Y$ są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z (odpowiednio sformułowaną) definicją ciagłości w sensie Cauchy'ego. Należy zauważyć, że ciągłość funkcji w punkcie nie jest własnością często badaną w topologii i tam o wiele ważniejszą własnością jest ciągłość na całej dziedzinie.