Zbiór przeliczalny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Zbiór przeliczalny – zbiór skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Mówiąc nieformalnie, zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi. Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego można ustawić w ciąg – "wypisać je po kolei". Moc zbiorów nieskończonych przeliczalnych oznacza się symbolem $\aleph_0$ (czytaj: alef zero) – jest to najmniejsza moc nieskończona.

[edytuj] Ujęcie formalne

Zbiór X nazywamy przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on skończony lub istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przekształcająca zbiór wszystkich liczb naturalnych na zbiór X.

Kilka własności zbiorów przeliczalnych:

Podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
Suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

[edytuj] Przykłady

Zbiór wszystkich liczb naturalnych nieparzystych jest zbiorem przeliczalnym ponieważ funkcja f(n) = 2n + 1 ustala równoliczność zbioru N i tego zbioru.
Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny. Można bowiem liczby całkowite ustawić w ciąg, na przykład w ten sposób: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, ...
Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny. Aby to udowodnić wystarczy wszystkie liczby wymierne wpisać do następującej tablicy: w wierszu pierwszym wpiszemy liczby 1/1, -1/1, 1/2, -1/2 ,1/3, -1/3... w wierszu drugim 2/1, -2/1, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3... itd.; ogólnie, w wierszu n-tym wpisujemy liczby postaci n/i, -n/i gdzie i=1,2,3,... W ten sposób w tablicy znajdą się wszystkie liczby wymierne. Aby teraz z takiej dwuwymiarowej tabeli wybrać ciąg zawierający kolejno wszystkie jej elementy, wystarczy wybierać liczby według reguły "po skosie" zaczynając od lewego górnego rogu i poruszając się raz w dół raz do góry. Otrzymujemy tym samym uporządkowanie wszystkich liczb wymiernych w ciąg – co więcej, każda liczba wymierna pojawi się w tym ciągu nieskończenie wiele razy!
Zbiór liczb rzeczywistych nie jest zbiorem przeliczalnym. Zobacz: rozumowanie przekątniowe.