Hipoteza Riemanna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

Wykres części rzeczywistej i zespolonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t.

Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce obok hipotezy Goldbacha. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (zespolone) tej funkcji mają część rzeczywistą równą $\frac{1}{2}$ , tj. $\Re(s) = \frac{1}{2}$ . Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute zasponsorował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna jest 8. problemem z listy problemów Hilberta.

[edytuj] Sformułowanie hipotezy

Dla $\Re(s) > 1$ funkcja dzeta przedstawia się wzorem:

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej $\Re(s) = \frac{1}{2}$ zwanej prostą krytyczną. G. H. Hardy oraz J. E. Littlewood udowodnili, że jest ich tam nieskończenie wiele. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey 1989).

[edytuj] Hipoteza Riemanna a teoria liczb

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej nierówności ( $π(n)$ to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n) będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

$\pi(n) = \mathrm{Li}(n) + O\left(\sqrt{n} \ln n\right)$