Riemann-sejtés

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Riemann-sejtés, amit először Bernhard Riemann 1859-ben fogalmazott meg, egyetlen számelméleti tárgyú dolgozatában, a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeinek eloszlásával foglalkozik (és így a prímszámok lehető legegyenletesebb eloszlását állítja). Sokan (így például Erdős Pál is), az egész matematika legfontosabb problémájának, koronagyémántjának tartják. Egyike a Hilbert-problémáknak, és az egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak is. A legtöbb matematikus igaznak tartja, bár például J. E. Littlewood és Atle Selberg hangoztatott kétségeket és mintha Turán Pál is mondott volna olyasmit, hogy: „amikor még hittem a Riemann-sejtésben”.

A Riemann-féle zéta-függvény ζ(s) egyváltozós, komplex számokon értelmezett függvény, értelmezési tartománya a teljes komplex számsík, az s = 1 eset kivételével. Ha s>1 valós szám, akkor a konvergens

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$

sor állítja elő, ez még akkor is konvergens, ha s komplex, de valós része 1-nél nagyobb. Így például az ismert Euler-féle formula miatt ζ(2)=π²/6. Ha s valós része nem 1-nél nagyobb, akkor analitikus folytatással kapjuk a függvény értékeit.

Vannak úgynevezett triviális gyökhelyei az s = -2, s = -4, s = -6, ... értékeknél. A Riemann-sejtés a nem triviális esetekkel foglalkozik, és kimondja:

A Riemann-féle Zéta-függvény minden nem triviális gyökének a valós része 1/2.

Tehát a nemtriviális gyökök az 1/2 + it alakú számokból álló úgynevezett kritikus egyenesen vannak, ahol t valós szám és i a képzetes egység.

[szerkesztés] Ekvivalens állítások

Számos, ártatlannak tűnő állítás valójában ekvivalens a Riemann-hipotézissel, például:

1. minden $n\geq 100$ természetes számra teljesül

$|\log([1,2,\dots,n])-n|\leq\sqrt{n}\left(\log n\right)^2$

ahol $[1,2,\dots,n]$ az első $n$ szám legkisebb közös többszörösét jelöli.

2. Robin tétele: Guy Robin 1984-ben bizonyította, hogy a következő állítás:

σ(n) < e γ n loglog n

minden n > 5040-re;

ahol σ(n) az osztóösszeg-függvény és γ az Euler-konstans; szintén ekvivalens a Riemann-sejtéssel ^[1].

3. Lagarias tétele: 2002-ben Jeffrey Lagarias megmutatta, hogy a Riemann-sejtés ekvivalens a σ(n) osztóösszeg-függvényre vonatkozó következő felső becsléssel:

$\sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}$

minden n természetes számra, ahol H_n a harmonikus sorozat ( $H_{n} \ := \ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$ ) ^[2].

[szerkesztés] Története

[szerkesztés] Gyökmentes tartomány

Az analitikus számelméletben a komplex számokat általában s=σ+ti alakban szokták felírni, tehát σ a valós rész, t a képzetes rész. A sejtés tehát az, hogy a 0≤σ≤1 sávba eső gyökökre σ=½ teljesül. Először Hadamard és de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs a σ=1 egyenesen gyök. Ebből már következik a prímszámtétel és mint utóbb kiderült, ekvivalens is vele. De la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy ha s=σ+ti, akkor

$\sigma< 1- \frac{c}{\log t}$

teljesül.

Ezt Littlewood javította meg 1922-ben:

$\sigma< 1- \frac{c \log\log t}{\log t}.$

Az eddigi legjobb eredményt Korobov és Vinogradov adta 1958-ban:

$\sigma< 1- \frac{c}{(\log t)^{2/3+\varepsilon}}$

minden ε>0-ra.

[szerkesztés] Általánosítási kísérlet

Pólya György 1919-ben felállította azt az erősebb sejtést, hogy tetszőleges x természetes számra azon $n\leq x$ számok száma, amiknek páratlan sok prímtényezője van (összesen), legalább annyi, mint amennyinek páros. Ezt C. B. Haselgrove 1958-ban megcáfolta, nem igaz például x=906180359-re.

[szerkesztés] Hamis riasztások

1885-ben Stieltjes rövid jegyzetet publikált a párizsi akadémia Comptes Rendusjében és egy Hermite-nek írt levelében megerősítette, hogy bebizonyította a Mertens-sejtést, ami erősebb, mint a Riemann-sejtés. Bizonyítást azonban haláláig nem publikált, és jegyzetei között sem találták nyomát.
A kiváló matematikus, J. L. W. V. Jensen 1899-es cikkében megemlítette, hogy bebizonyította a Riemann-sejtést.
1943-ban Hans Rademacher az utolsó pillanatban vonta vissza cikkét a Transactions of the American Mathematical Society c. folyóiratból, miután Siegel megtalálta a hibát.
1961-ben az ogyesszai egyetem folyóiratában publikálta hibás bizonyítását N. I. Gavrilov. Később külön brosúrában majd könyvben is megjelentette, az ogyesszai illetve a lembergi egyetem kiadásában.
2004. június 8-án a Purdue Egyetem sajtóközleményében jelentette be Louis de Branges, hogy fáradozásai sikerrel jártak: bizonyítását feltette a világhálóra. A matematikusvilág szkeptikus, mert de Branges, noha a Bieberbach-problémára adott 1984-es bizonyítása utóbb helyesnek (pontosabban javíthatónak) bizonyult, számos, hibás bizonyítást adott az invariáns alterek problémájára, a mérhető számosságok nemlétezésére és, igen, a Riemann-sejtésre.

[szerkesztés] Ismeretterjesztő könyvek

John Derbyshire: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, 2003, ISBN 0309085497
Karl Sabbagh: The Riemann Hypothesis, Farrar, Straus and Giroux, 2003, ISBN 0374250073

[szerkesztés] Külső hivatkozások

The Prime pages http://www.utm.edu/research/primes/notes/rh.html
A Purdue egyetem sajtóközleménye http://news.uns.purdue.edu/UNS/html4ever/2004/040608.DeBranges.Riemann.html
M. Watkins oldala az állítólagos bizonyításokról http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm

[szerkesztés] Jegyzetek

↑ Robin, G.: Grandes Valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984. Original publication of Robin's theorem.
↑ Lagarias, J.: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534--543.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../r/i/e/Riemann-sejt%C3%A9s.html"

Kategória: Számelmélet