極限

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極限(きょくげん)とは、あるものに限りなく近付くさま。物事の果て。

数学においては、数列や数についての極限をよく考える。数列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束しない場合は、発散するという。

[編集] 一般的な式

極限を表すために、次のような lim という記号を使う。

$\lim_{n \to \infty}x_n$
$\lim_{x \to 0}\frac{\;\sin x\;}{x}=1$

[編集] 数列の極限

数列に於いて、項が進むにつれてある1つの値に限りなく近づいていくことを収束するという。近づいていった先の点のことを極限という。収束しない数列は正の無限大に発散するもの、負の無限大に発散するものと振動する（値が一定しない）ものに分かれる。

[編集] 数列の収束

例えば、1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ...という数列を考えよう。この数列の項はnが大きくなるにつれてどこまでも0に近くなっていくので、0に収束すると考えられる。このことを

$\lim_{n \to \infin}{1 \over n} = 0$

あるいは

${1 \over n} \to 0 \quad (n\to\infty)$

と書く。

カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という表現によらずにイプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 ${a n}$ がある値 $α$ に収束するとは、次のようなことを言う。

$\forall \varepsilon>0 \;\exists n_0\; \textrm{ s.t. }\; \bigg[n>n_0\Longrightarrow |a_n - \alpha|<\epsilon\bigg]$

このことを用いると、a_n=1/nの極限値が0であることは以下のように証明できる。

(証明)

自然数は上に有界でないので、

$\forall \epsilon>0 \;\exist n_0\; \textrm{s.t.}\; \left[n>n_0\Longrightarrow n>\frac{1}{\epsilon}\right]$

従って

$\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon\ (n>n_0)\Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

[編集] 極限値の性質

1. 数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。すなわち

$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \lim_{n\to\infty}a_n=\beta \Longrightarrow \alpha=\beta$

2. 数列の有限個の項を削除、追加あるいは値を変えて新たな数列を得たとしたとき、これらは一方が収束すれば他方も収束し極限値も等しい。

3. 収束する数列は数の集合として有界である。すなわち

$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\Longrightarrow \exist K\ \textrm{s.t.}\ |a_n|<K$

$\forall n\; a_n \le b_n,\; \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\; \lim_{n\to\infty}b_n=\beta \Longrightarrow \alpha \le \beta$

また

$\forall n\; a_n < b_n,\; \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\; \lim_{n\to\infty}b_n=\beta \Longrightarrow \alpha \le \beta$

[編集] 数列の発散

数列が収束しないとき、その数列は発散するという。特に、項数nを限りなく大きくしていくとき、数列の項の値a_nが限りなく大きくなることを、数列{a_n}は正の無限大に発散するといい、次のようにあらわす

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

または

$a_n\rightarrow\infty\; (n\rightarrow\infty)$

数列の正の無限大への発散は、厳密には次のように定義される。

$\forall K \; \exist n_0\; \textrm{s.t.}\; \bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n > K\bigg]$

また、項数nを限りなく大きくしていくとき、数列の項の値a_nが限りなく小さくなることを、数列{a_n}は負の無限大に発散するといい、次のようにあらわす

$\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$

または

$a_n\rightarrow -\infty\; (n\rightarrow\infty)$

数列の負の無限大への発散は、厳密には次のように定義される。

$\forall K \; \exist n_0\; \textrm{s.t.}\; \bigg[n>n_0 \Longrightarrow a_n < K\bigg]$

数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は振動するという。振動も発散の一種である。

[編集] 点列

[編集] 関数

[編集] 関数の点での極限

$f (x)$ を実関数とし， $c$ を実数とする。式

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

または

$f(x) \rightarrow L \quad (x \rightarrow c)$

は　 $x$ 　の値を $c$ に十分に近づければ， $f (x)$ の値を $L$ に近づけたいだけ近づけることができることを意味する。このとき，「 $x$ を $c$ に近づけたときの $f (x)$ の極限は $L$ である。」という。

これはイプシロン-デルタ論法により次のよう厳密に定義される。

$\forall \epsilon>0 \quad \exist \delta>0 \quad \textrm{s.t.}\quad \bigg[ 0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \bigg]$

このことは $f(c) \neq L$ であるときも成り立つことがあることを注意する。実は，関数 $f (x)$ が $c$ で定義されている必要もないのである。

このことを理解するために次の例を挙げる。

$x$ が $2$ に近づくときの $f (x) = x / (x 2 + 1)$ の値を考える。この場合， $f (x)$ は $x$ が $2$ のときに定義されており，値は $0.4$ である。

$f (1.9) = 0.4121$
$f (1.99) = 0.4012$
$f (1.999) = 0.4001$

$x$ が 2 に近づくにつれて $f (x)$ が $0.4$ に近づくので，したがって $\lim_{x\to 2}f(x)=0.4$ である。このように $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$ であるとき， $f (x)$ は $x = c$ で連続であるという。しかしこのようなことが常に成り立つとは限らない。

例として，

$g(x)=\begin{cases} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ 0, & \mbox{if }x=2 \end{cases}$

を考える。 $x$ が $2$ に近づくときの $g (x)$ の極限は $0.4$ であるが， $\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)$ である。このとき $g (x)$ は $x = 2$ で連続でないという。

また、 $x\rightarrow c$ のとき、f(x)の値が限りなく大きくなることを、「xがcに限りなく近づくとき関数f(x)は正の無限大に発散する」といい、

$\lim_{x\to c}f(x)=\infty$

または

$f(x)\rightarrow \infty\quad (x\rightarrow c)$

と表す。

このことは次のように厳密に定義される。

$\forall K \quad \exist \delta>0 \quad \textrm{s.t.} \quad \bigg[0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K \bigg]$

逆に、 $x\rightarrow c$ のとき、f(x)の値が限りなく小さくなることを、「xがcに限りなく近づくとき関数f(x)は負の無限大に発散する」といい、

$\lim_{x\to c}f(x)=-\infty$

または

$f(x)\rightarrow -\infty\quad (x\rightarrow c)$

と表す。

これは次のように厳密に定義される。

$\forall K \quad \exist \delta>0 \quad \textrm{s.t.} \quad \bigg[0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K \bigg]$

どちらの無限大への発散も、関数f(x)がx=cにおいて定義できない関数においてのみ生じる。

[編集] 関数の無限での極限

一般には $x$ がある有限の値に近づくときを考えることが多いが， $x$ が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。

ある無限区間 $(a,\infty)$ (もしくは $[a,\infty)$ や $(-\infty,\infty)$ でもよい)で定義される関数f(x)において、xが限りなく大きくなると関数f(x)の値がある値Lに近づくとき、「xが限りなく大きくなるときf(x)はLに収束する」といい、

$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$

または

$f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow\infty)$

と表す。

これは次のように定義される。

$\forall \epsilon>0 \quad \exist X \quad \textrm{s.t.} \quad \bigg[x>X \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \bigg]$

例えば， $f (x) = 2 x / (x + 1)$ を考える。

$f (100) = 1.9802$
$f (1000) = 1.9980$
$f (10000) = 1.9998$

x が十分大きくなるにつれて， $f (x)$ は $2$ に近づく。このとき， $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$ と表す。

また、ある無限区間 $(-\infty,a)$ (もしくは $(-\infty),a]$ や $(-\infty,\infty)$ でもよい)で定義される関数f(x)において、xが限りなく小さくなると関数f(x)の値がある値Lに近づくとき、「xが限りなく小さくなるときf(x)はLに収束する」といい、

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=L$

または

$f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty)$

と表す。

これは次のように定義される。

$\forall \epsilon>0 \quad \exist X \quad \textrm{s.t.} \quad \bigg[x<X \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \bigg]$

関数の無限における極限においても、もちろん関数の発散を考えることができる。

ある無限区間 $(a,\infty)$ (もしくは $[a,\infty)$ や $(-\infty,\infty)$ でもよい)で定義される関数f(x)において、xが限りなく大きくなると関数f(x)の値も限りなく大きくなるとき、「xが限りなく大きくなるときf(x)は正の無限大に発散する」といい、

$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$

または

$f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow\infty)$

と表す。

これは次のように定義される。

$\forall K \quad \exist X \quad \textrm{s.t.} \quad \bigg[x>X \Longrightarrow f(x)>K \bigg]$

また、ある無限区間 $(-\infty,a)$ (もしくは $(-\infty),a]$ や $(-\infty,\infty)$ でもよい)で定義される関数f(x)において、xが限りなく小さくなると関数f(x)の値が限りなく大きくなるとき、「xが限りなく小さくなるときf(x)は正の無限大に発散する」といい、

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty$

または

$f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty)$

と表す。

これは次のように定義される。

$\forall K \quad \exist X \quad \textrm{s.t.} \quad \bigg[x<X \Longrightarrow f(x)>K \bigg]$

同様に、 $x\rightarrow \infty$ や $x\rightarrow -\infty$ における負の無限大への発散を定義することができる。

$x\rightarrow \infty$ や $x\rightarrow -\infty$ において、関数f(x)が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に「振動する」という。

[編集] 関数列の収束

$I \sub \mathbb{R}$ 　 $f_n,f:I \rightarrow \mathbb{R}$ とする。

{f_n} が f に I 上各点収束するとは、

$\forall \epsilon >0 \quad \forall x \in I \quad \exist n_0 \in \mathbb{N} \quad s.t. \quad n \ge n_0 \Rightarrow |f_n(x) - f(x)|< \epsilon$

が成り立つことである。これは、

各 $x \in I$ に対して、 $|f_n(x)-f(x)| \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty )$

と同値である（これを各点収束の定義とすることもある）。

{f_n} が f に I 上一様収束するとは、

$\forall \epsilon >0 \quad \exist n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall x \in I \quad s.t. \quad n \ge n_0 \Rightarrow |f_n(x) - f(x)|< \epsilon$

が成り立つことである。これは、

$\| f_n-f \|_{\infty} := \sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)| \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty )$

と同値である（上で定義したノルムをスープノルムと言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある）。

また、区間 I の任意のコンパクト集合（有界閉区間）上一様収束することを広義一様収束という。

定義より、「f_n が I 上一様収束⇒f_n が I 上各点収束」が成り立つ（逆は必ずしも成り立たない）。関数の一様収束性は、lim と ∫ の順序交換や、項別積分や項別微分の可能性を保証する（逆に言えば、一様収束が保証されていない段階では、勝手にlim と ∫ の順序を交換したりなどしてはいけない）。

関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性では、WeierstrassのMテストも用いられる。

[編集] 位相空間

点列の収束の概念は、一般の位相空間においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、ネットやフィルターといった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(X) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X) を考えると、これらからはXの位相が復元できる。

[編集] 圏論

圏 C における図式を「添字圏」 J から C への関手と見なすことにする。特定の図式に対応する関手が与えられたとき、Cの対象Xと射の族 (φ_i: X → Fi)_{i ∈ Obj(J)}に対して次のような条件を考えることができる：

Jの任意の射jについてFj &circle; φ_i0 = φ_i1が成り立つ。ここでi₀ = dom j i₁ = ran jである。
Cの任意の対象Yと射の族(φ_i: X → Fi)_{i ∈ Obj(J)}で、1. と同様の条件を満たすものについて射g: Y → Xでφ_i g = ψ_i (i ∈ Obj(J))を満たすものが一意的に存在する

このような条件を満たす X （と族 φ_i）のことを F が表す図式の極限とよぶ。極限の満たす普遍性により、それぞれの図式に対する極限は（あったとして）自然な同型をのぞき一意に定まる。

極限の典型的な例として、対象の族 (X_i)_{i ∈ I} の直積 ∏_i X_iや二つの射 f, g: X → Yの等化射 (equalizer) があげられる。特定の形 J の図式について必ずC における極限が存在するとき、図式から極限への対応は図式圏 C^J への対角埋め込み関手 Δ C → C^Jに対する右随伴関手としてとらえることができる。