Problema dei due corpi

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Per problema dei due corpi si intende la descrizione del moto di due corpi puntiformi sotto l'azione delle sole forze di interazione dei due corpi stessi, che si suppongono forze centrali per le quali valga il terzo principio della dinamica.

Indice

1 Il problema dei due corpi gravitazionale
2 Equazioni del moto
3 L'energia
4 Il momento angolare
5 Il potenziale efficace
6 La traiettoria

[modifica] Il problema dei due corpi gravitazionale

Se la forza di interazione è data dalla legge di gravitazione universale di Newton $\vec{F} = - \, \frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{2}} \; \hat{e}_{r} := - \, \frac{k}{r^{2}} \; \hat{e}_{r}$ siamo nel caso notevole del moto di due corpi celesti, ad esempio Sole e Terra (trascurando la presenza degli altri pianeti del sistema).

[modifica] Equazioni del moto

Fissato un opportuno sistema di riferimento, indichiamo con $\vec{r}_{1}$ e $\vec{r}_{2}$ le posizioni dei due corpi e con $m 1$ e $m 2$ le loro masse. Se il corpo 1 agisce sul corpo 2 con una forza $\vec{F}$ , per la legge di azione e reazione il corpo 2 agisce su 1 con una forza $-\vec{F}$ : allora le equazioni del moto sono

$-\vec{F} = m_{1} \ddot{\vec{r}}_{1}$

$\vec{F} = m_{2} \ddot{\vec{r}}_{2}$

da cui si ricava $m_{1}\ddot{r}_{1} = - m_{2} \ddot{r}_{2} \Rightarrow m_{1}\ddot{r}_{1} + m_{2} \ddot{r}_{2} = 0$ . Di conseguenza, per il centro di massa vale la seguente equazione:

$M_{tot}\ddot{r}_{cm} = 0 \Rightarrow \ddot{r}_{cm} = 0$

cioè il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme. Notiamo ora che $\ddot{\vec{r}}_{2} = \frac{1}{m_{2}} \cdot \vec{F}$ e $\ddot{\vec{r}}_{1} = -\frac{1}{m_{1}} \cdot \vec{F}$ perciò $\ddot{\vec{r}}_{2} - \ddot{\vec{r}}_{1} = \vec{F} (\frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{1}}).$

Ora introduciamo la coordinata del moto relativo del corpo 1 rispetto al corpo 2: $\vec{r} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ . Si ottiene dunque

$\vec{F} = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \; \ddot{\vec{r}} := \mu \; \ddot{\vec{r}}$

dove $μ$ si dice massa ridotta. L'equazione differenziale del moto è allora

$\mu \ddot{\vec{r}} = - \frac{k}{r^{2}} \hat{e_{r}}.$

[modifica] L'energia

L'energia meccanica totale è costante, perché le uniche forze considerate sono conservative. L'energia è uguale alla somma di energia cinetica ed energia potenziale, perciò nel sistema di riferimento iniziale vale

$E = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} + E_{pot}$ .

Tuttavia, poiché il centro di massa è in moto rettilineo uniforme, è più comodo portarsi in un sistema di riferimento solidale con esso.

In questo nuovo sistema, applicando il teorema di König si ricava la seguente espressione dell'energia cinetica:

$K_ {CM}= \frac{1}{2} \; \mu \; v_{rel}^{2}$

dove compare la velocità relativa del corpo 1 rispetto al corpo 2 ( $\dot{\vec{r}}$ ). Passando in coordinate polari, con polo in corrispondenza del corpo 2, si ha

$\vec{v}_{rel} = \dot{r}\hat{e}_{r} + (r\dot{\theta})\hat{e}_{\theta}$

e perciò

$K_ {CM}= \frac{1}{2} \; \mu (\dot{r}^{2} + r^{2} \dot{\theta}^{2})$ .

Per quanto concerne l'energia potenziale, è noto che per definizione l'energia potenziale gravitazionale vale

$-\frac{Gm_{1}m_{2}}{r} = -\frac{k}{r}$ .

Allora

$E = \frac{1}{2} \; \mu \; (\dot{r}^{2} + r^{2} \, \dot{\theta}^{2}) - \frac{k}{r}$ .

[modifica] Il momento angolare

Per definizione il momento angolare totale dei due corpi vale, nel sistema iniziale,

$\vec{L}_{tot} = m_{1}\;\vec{r}_{1} \times \vec{v}_{1} + m_{2}\;\vec{r}_{2} \times \vec{v}_{2}$

considerando come polo l'origine del sistema. Passando nel nuovo sistema, scegliamo come polo il centro di massa risulta, applicando la formula $\vec{L}_{\omega} = \vec{L}_{o} + \overrightarrow{\omega o} \times m \vec{v}_{o}$ ,

$\vec{L}_{cm} = \mu \; \vec{r} \times \vec{v}_{rel} = \mu \; r\hat{e}_{r} \times (\dot{r}\hat{e}_{r} + r\dot{\theta}\hat{e}_{\theta}) = \mu r^{2} \dot{\theta} \hat{z}$ .

Poiché le uniche forze agenti sono interne al sistema dei due corpi, il momento delle forze esterne è nullo e quindi il momento angolare si conserva. Come si vede dall'ultima relazione, se la distanza relativa aumenta la velocità angolare deve diminuire ( $r^{2}\dot{\theta}$ è costante) e viceversa.

Inoltre, del momento angolare non si conserva solo il modulo, ma anche la direzione: poiché essa è sempre perpendicolare al piano del moto (per definizione di momento angolare), ne consegue che tale piano non cambia nel tempo. Quindi possiamo concludere che il moto è piano.

[modifica] Il potenziale efficace

Ricordando i risultati ottenuti,

$\dot{\theta} = \frac{L}{\mu r^{2}} \Rightarrow E = \frac{1}{2} \mu r^{2} + \frac{1}{2} \mu r^{2} \frac{L^{2}}{\mu^{2}r^{4}} - \frac{k}{r}$

ovvero

$E = \frac{1}{2} \mu \dot{r}^{2} + \frac{L^{2}}{2 \mu r^{2}} - \frac{k}{r}.$

E' evidente che il primo termine della somma non dipende solo dalla distanza relativa, ma non può essere minore di zero. Nella seconda parte della somma compaiono invece due addendi che dipendono solo da $r$ (le altre grandezze sono costanti!). Allora definiamo la funzione potenziale efficace come

$V_{eff}(r) = \frac{L^{2}}{2 \mu r^{2}} - \frac{k}{r}.$

Si vede facilmente che

$\lim_{r \rightarrow \infty } V_{eff} = 0^{-} \; ; \; \lim_{r \rightarrow 0} V_{eff} = + \infty$

e studiando la derivata si trova un punto di minimo per $\bar{r} = \frac{L^{2}}{k\mu}$ . Quindi la nuova funzione ha la forma di una buca di potenziale; è chiaro inoltre che

$V_{eff} = E \Rightarrow \dot{r} = 0$

cioè quando la velocità tangenziale è nulla il potenziale efficace è uguale all'energia. D'altra parte,

$V_{eff} = E \Rightarrow \frac{L^{2}}{2\mu r^{2}} - \frac{k}{r} = E \Rightarrow L^{2} - 2\mu k r = 2 \mu r^{2} E \Rightarrow 2\mu E r^{2} + 2\mu k r - L^{2} = 0$ .

Risolviamo quest'ultima equazione in $r$ :

$\frac{\Delta}{4} = \mu^{2}k^{2} + 2 \mu E L^{2} \geq 0 \Rightarrow E \geq -\frac{\mu k^{2}}{2L^{2}}$

cioè

$r = \frac{-\mu k \pm \sqrt{\Delta /4}}{2\mu E}$ .

[modifica] La traiettoria

Studiamo ora le soluzioni dell'equazione precedente al variare di $E$ .

$E = -\frac{\mu k^{2}}{2L^{2}} \Rightarrow$ la soluzione è nella forma $\frac{-n \pm 0}{-q} \Rightarrow$ , quindi è accettabile perché positiva.

Il significato fisico è chiaro: l'energia si mantiene costantemente uguale al potenziale efficace, quindi la velocità tangenziale $\dot{r}$ è sempre nulla. La traiettoria è una circonferenza di raggio $\frac{L^{2}}{\mu k}$ .

$-\frac{\mu k^{2}}{2L^{2}}<E<0 \Rightarrow r = \frac{-n \pm p}{-q}$ con $| p | < | n | .$ Allora ci sono due soluzioni positive, poiché

$\frac{-n -p}{-q} > 0 \; ; \; \frac{-n + p}{-q} > 0.$ In pratica ci sono due punti in cui $\dot{r} = 0$ : si tratta della distanza relativa minima e massima (vedi figura). Il corpo 2 non può spingersi oltre tali punti, poiché dovrebbe avere energia cinetica negativa. Allora si può concludere che la traiettoria è chiusa ed ha forma di ellisse con fuoco corrispondente al corpo 1 (prima legge di Keplero).

$E =0 \Rightarrow r = \frac{-n \pm n}{-q} \Rightarrow r = \frac{2n}{q}.$ Vi è quindi una sola soluzione, ma bisogna notare che $E=0 \Rightarrow \frac{1}{2} \mu \dot{r}^{2} + \frac{L^{2}}{2 \mu r^{2}} - \frac{k}{r} = 0$ . Perciò quando $r \rightarrow \infty$ , $\dot{r} = 0$ . Allora la traiettoria si richiude a distanza infinita: si tratta di una parabola.

$E > 0 \Rightarrow r = \frac{-n \pm p}{-q}$ con $| p | > | n | .$ Allora solo una soluzione è positiva, poiché $\frac{-n -p}{-q} > 0 \; ; \; \frac{-n + p}{-q} < 0.$ La traiettoria è aperta, ed ha forma di iperbole. Nel caso particolare $L = 0$ , si tratta di una retta.

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