Lagrangiana

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La lagrangiana $\mathcal{L}[\phi_i]$ di un sistema dinamico è un funzionale delle variabili dinamiche $\ \phi_i(s)$ che descrive concisamente le equazioni del moto del sistema, che si ottengono attraverso il principio di minima azione, scritto come

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \phi_i} = 0$

dove

$\mathcal{S}[\phi_i] = \int{\mathcal{L}[\phi_i(s)]{}\,d^ns}$ ,

definisce l'azione del sistema, con $s_\alpha \!$ che denota l'insieme dei suoi parametri dinamici.

Le equazioni del moto ottenute per mezzo della derivata funzionale sono identiche alle usuali equazioni di Eulero-Lagrange: un sistema dinamico le cui equazioni del moto siano ottenibili applicando il principio di minima azione su una determinata lagrangiana è definito sistema dinamico Lagrangiano. Esempi di tali sistemi dinamici vanno dalle leggi del moto al Modello standard, a problemi puramente matematici come le equazioni geodesiche e il problema di Plateau.

[modifica] Un esempio dalla meccanica classica

Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Supponiamo di avere uno spazio tridimensionale e la lagrangiana

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x})$

Allora l'equazione di Eulero-Lagrange è

$m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0$

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.

Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:

$\vec{F}=- \nabla V(x)$

quindi l'equazione risultante è

$\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$

esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di massa costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione

$\vec{F}=d\vec{p}/dt$

che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in coordinate sferiche r, θ, φ; la forma della lagrangiana allora sarà

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)$

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V'=0$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0$

Qui l'insieme di parametri dinamici s_i sono ridotti al solo il tempo t, mentre le variabili dinamiche φ(s) sono le traiettorie $\vec x(t)$ delle particelle scritte in coordinate polari.

[modifica] Formalismo matematico

Supponiamo di avere una varietà n-dimensionale M e una varietà "bersaglio" T. Sia $\mathcal{C}$ lo spazio delle configurazioni delle funzioni regolari da M a T.

Prima di continuare diamo alcuni esempi:

Nella meccanica classica, M è la varietà monodimensionale $\mathbb{R}$ , che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il legamento tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.
Nela teoria dei campi, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali, φ₁,...,φ_m, allora la varietà bersaglio è $\mathbb{R}^m$ . Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è isomorfa a $\mathbb{R}^n$ . Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Ora, supponiamo esista un funzionale, $S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}$ , detto azione. Si noti che questo sarebbe una mappatura su $\mathbb{R}$ , non su $\mathbb{C}$ , per motivi fisici.

Affinché l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se $\phi\in\mathcal{C}$ , noi assumiamo che S(φ) sia l'integrale su M di una funzione di φ, la sua derivata, e che la posizione sia chiamata lagrangiana, $\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)$ . In altre parole,

$\forall\phi\in\mathcal{C}\, S[\phi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)$ .

La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

Date le condizioni al contorno, sostanzialmente specificando il valore di φ al bordo di M, se questo è compatto o fornendo alcuni limiti su φ quando x tende all'infinito (questo ci aiuterà nell'integrazione per parti), possiamo denotare il sottoinsieme di $\mathcal{C}$ che consiste di funzioni φ tali che tutte le derivate funzionali di S su φ sono nulle e φ soddisfa le condizioni al contorno date.

La soluzione è fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (grazie alle condizioni al contorno)

$\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0$ .

Casualmente il membro sinistro è il negativo della derivata funzionale dell'azione rispetto a φ.

[modifica] Voci correlate

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