Gruppo generale lineare
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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il gruppo generale lineare è il gruppo di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K. Viene indicato con GL(n, K).
Il gruppo speciale lineare è il sottogruppo delle matrici aventi determinante uguale a +1. Viene indicato con SL(n, K).
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[modifica] Definizione e proprietà basilari
Sia GL(n, K) l'insieme di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K. Questo insieme forma un gruppo con l'operazione di moltiplicazione fra matrici.
Questo è anche l'insieme di tutte le matrici aventi determinante diverso da zero. Per il teorema di Binet, la funzione
che associa ad una matrice A in GL(n, K) il suo determinante, è un omomorfismo da GL(n, R) in K* = K meno lo zero (che forma un gruppo con l'operazione prodotto).
Il sottogruppo normale SL(n,R) è il nucleo di questo omomorfismo. In altre parole, è il sottogruppo delle matrici con determinante +1.
[modifica] Caso reale
[modifica] Algebra
- I gruppi GL(n, R) e SL(n, R) non sono mai commutativi per n > 1.
- Le matrici diagonali formano un sottogruppo di GL(n, R).
[modifica] Topologia
Il gruppo GL(n, R) è anche una varietà differenziabile, e assieme alla struttura di gruppo forma un gruppo di Lie.
Il gruppo non è compatto, perché il determinante è una funzione continua e suriettiva a valori in R meno lo zero, che non è compatto.
Il gruppo non è neppure connesso, perché il determinante è continuo e suriettivo a valori in R meno lo zero, che non è connesso. Il gruppo ha due componenti connesse, una delle quali è SL(n, R).
Il gruppo è però omotopicamente equivalente al gruppo ortogonale O(n), che è un gruppo di Lie compatto.
Il sottogruppo SL(n, R) è connesso ma non compatto, ma è omotopicamente equivalente al gruppo ortogonale speciale SO(n), che è un gruppo di Lie connesso e compatto.
