Nucleo (matematica)
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In matematica, il nucleo di una applicazione lineare f tra gruppi o spazi vettoriali è l'insieme di quegli elementi la cui immagine è zero. Viene spesso indicato come Ker(f), dall'inglese Kernel. Il nucleo eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine di f: generalmente nucleo e immagine si comportano come "vasi comunicanti": una funzione con nucleo "grande" ha immagine "piccola" e viceversa.
[modifica] Definizione
Il nucleo (in inglese Kernel) di un omomorfismo di gruppi f: X → Y è il sottoinsieme di X costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di Y. Ovvero
In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Il nucleo è sempre un sottogruppo di X, in particolare contiene sempre l'elemento neutro di X.
Nel caso in cui X sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e f sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi) il nucleo Ker(f) è un sottospazio vettoriale di X (oltre ad esserne un sottogruppo).
[modifica] Proprietà
- Un omomorfismo (o applicazione lineare) è iniettivo se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.
- Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è un sottogruppo normale.
- Una matrice quadrata A a coefficienti in un campo K rappresenta un'applicazione lineare da Kn in sé. In questo caso il nucleo di A (detto anche spazio nullo di A) è composto dal solo vettore nullo se e soltanto se il determinante di A è diverso da zero. Questa condizione comporta anche che l'applicazione lineare è iniettiva e funzione suriettiva e la matrice invertibile.
