Funzione suriettiva

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Una funzione si dice suriettiva (o surgettiva) quando l'immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un punto del dominio.

Formalmente, una funzione $f:X \rightarrow Y$ è suriettiva se $\forall y \in Y, \exist x \in X | f(x) = y$ .

In termini alternativi, una funzione f: X → Y si dice suriettiva se e solo se l'insieme immagine f(X) coincide con il codominio Y. Una funzione suriettiva è anche detta suriezione.

La composta di due funzioni suriettive è a sua volta suriettiva; ma se $g \circ f$ è suriettiva, possiamo concludere solo che g è suriettiva, f può non esserlo.

[modifica] Esempi e controesempi

Per ogni insieme X, la funzione identità id_X su X è suriettiva.
La funzione f: R → R definita da f(x) = 2x + 1 è suriettiva, perché per ogni numero reale y si ha f(x) = y dove x è (y - 1)/2.
La funzione logaritmo naturale ln: R+ → R è suriettiva.
Sia la parabola f(x) = x² definita in maniera seguente: $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ ; questa funzione non è suriettiva in quanto le immagini del codominio sono tutti numeri reali non negativi, mentre il dominio comprende anche i numeri reali negativi. Per rendere suriettiva questa funzione è sufficiente effettuare questa restrizione: $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$ , ovvero considerare un codominio diverso.

Nell'analisi matematica vengono considerate quasi sempre funzioni suriettive.

Se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse x questa intersecherà il grafico della funzione almeno una volta.

[modifica] Proprietà

Una funzione f: X → Y è suriettiva se e solo se esiste una funzione g: Y → X tale che f o g è la funzione identità su Y. (Tale proposizione è equivalente all'assioma della scelta.)
Se f e g sono entrambe suriettive, allora f o g è suriettiva.
Se f o g è suriettiva, allora f è suriettiva (ma g può non esserlo).
f: X → Y è suriettiva se e solo se, per ogni coppia di funzioni g,h:Y → Z, ogni volta che g o f = h o f, allora g = h. In altri termini, le funzioni suriettive sono esattamente gli epimorfismi nella categoria Ins di tutti gli insiemi.
Se f: X → Y è suriettiva e B è un sottoinsieme di Y, allora f(f⁻¹(B)) = B. Ne consegue che B può essere ricostruito dalla sua controimmagine f⁻¹(B).
Per ogni funzione h: X → Z esistono una suriezione f e una funzione iniettiva g tale che h può essere decomposta come h = g o f. Tale decomposizione è unica a meno di un isomorfismo, e f può essere vista come una funzione avente gli stessi valori di h ma il cui codominio è ristretto all'insieme immagine h(W) di h, che è un sottoinsime del codominio Z di h.
Aggregando insieme tutte le controimmagini di una prefissata immagine, ogni funzione suriettiva induce una funzione biunivoca definita sul quoziente del suo dominio. In particolare, ogni funzione suriettiva f : A → B può essere fattorizzata in una proiezione seguita da una biiezione nel seguente modo. Sia A/~ l'insieme delle classi di equivalenza di A rispetto alla seguente relazione d'equivalenza: x ~ y se e solo se f(x) = f(y). Sia P(~) : A → A/~ la proiezione che associa ogni x in A alla sua classe d'equivalenza [x]_~, e sia f_P : A/~ → B la funzione ben definita data da f_P([x]_~) = f(x). Allora f = f_P o P(~).
Se f: X → Y è suriettiva, allora X ammette almeno lo stesso numero di elementi di Y.
Se X e Y sono finiti con lo stesso numero di elementi, allora f : X → Y è suriettiva se e solo se f è iniettiva.