Prímszámtétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A prímszámtétel a prímszámok eloszlását írja le. Ha x pozitív, jelölje $π(x)$ az x-ig terjedő prímszámok számát. A prímszámtétel azt állítja, hogy

$\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1$

Szokásos jelöléssel

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$

ahol ln(x) a természetes logaritmust jelöli . A $\sim$ jelölés azt jelenti, hogy a két oldal hányadosa 1-hez tart, ha x végtelenhez tart (aszimptotikusan egyenlőek).

Még jobb közelítés adható a Li(x) fügvénnyel.

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln(x)}}\right)$

ha x → ∞ (lásd O jelölés). Itt Li(x) a

${\rm Li} (x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; .$

integrállogaritmus függvény. A prímszámtételt abban az ekvivalens formában is kimondhatjuk, hogy az n-edik prím aszimptotikusan $n ln(n).$

A tételt Legendre és Gauss sejtette meg. Csebisev bebizonyította, hogy nagy x-re

$0,922\frac{x}{\ln(x)} <\pi(x) < 1,105 \frac{x}{\ln(x)},$

de csak sokkal később, komplex függvénytani módszerekkel igazolta a prímszámtételt Hadamard és de la Vallée Poussin 1896-ban. A prímszámok eloszlása fontos kapcsolatban van a Riemann-féle zeta-függvény gyökeinek eloszlásával. Hadamard és de la Vallée-Poussin úgy vezette le a prímszámtételt, hogy megmutatták, hogy a zeta-függvénynek nincs 1 valós részű gyöke. Később kiderült hogy a két állítás ekvivalens, ezért fontos kérdéssé vált az, hogy van-e elemi bizonyítás a prímszámtételre. Ilyet végül Erdős Pál és Atle Selberg adott 1949-ben, részben együttműködve, részben függetlenül. Az elemi szó ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy nem használ komplex függvénytani eszközöket, csak elemi analízisbeli becsléseket, ezek a bizonyítások rendkívül fáradságosak és nagyon gyenge hibatagot adnak.

Általában igaz, hogy minél nagyob tartományból sikerül kizárni a zeta-fügvény gyökeit, annál jobb hibatagot kapunk, ezért nagyjelentőségű a zeta-függvény gyökeire vonatkozó Riemann-sejtés.

A Dirichlet-tétel általánosításaként belátható, hogy minden $q > 2$ -re a prímszámok egyenletesen oszlanak el a mod q redukált maradékosztályokban, azaz, ha $π(x, q, a)$ jelöli az x-nél nem nagyobb prímek számát, amelyek q-val osztva a maradékot adnak, akkor