Θεώρημα πρώτων αριθμών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.

Δηλώνει ότι αν διαλέξουμε τυχαία έναν αριθμό μικρότερο ή ίσο του $\,x$ η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου $\,1/\ln x$

[Επεξεργασία] Θεώρημα

Έστω η συνάρτηση πρώτων αριθμών $\,\pi(x)$ που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του $x, x\in\R_+$ :

$\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.$

Ισχύει:

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},$

που σημαίνει ότι η $\,\pi(x)$ και η $\frac{x}{\ln x}$ έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{{x}/{\ln x}}=1$ .

[Επεξεργασία] Ακριβέστερη προσέγγιση

Σύγκριση των π(x) (μπλε), x / ln x (πράσινο) και Li(x) (κόκκινο)

Έστω το λογαριθμικό ολοκλήρωμα (logarithmic integral):

$Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t},$

που μπορεί να γραφεί και ως:

$Li(x)=\frac{x}{\ln x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(\ln x)^k}=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x)^2}+\frac{2x}{(\ln x)^3}+\cdots.$

Σύμφωνα to θεώρημα πρώτων αριθμών ισχύει $\,\pi(x)\sim Li(x)$ . Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

$\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}}),$

όπου ο όρος λάθους είναι μικρότερος απο αυτόν που δίνει το θεώρημα πρώτων αριθμών. Η σχέση

$\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\ln x),$

που δηλώνει καλύτερη προσέγγιση από την προαναφερθείσα, είναι ισοδύναμη της υπόθεσης του Riemann.

Αυτό το άρθρο μαθηματικών χρειάζεται επέκταση. Βοηθήστε τη Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το!

Ανακτήθηκε από "http://el.wikipedia.org../../../%CE%B8/%CE%B5/%CF%8E/%CE%98%CE%B5%CF%8E%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%80%CF%81%CF%8E%CF%84%CF%89%CE%BD_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8E%CE%BD.html"

Κατηγορίες: Μαθηματικά-επέκταση | Θεωρία αριθμών

Θεώρημα πρώτων αριθμών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

[Επεξεργασία] Θεώρημα

[Επεξεργασία] Ακριβέστερη προσέγγιση

Views

Πλοήγηση

Αναζήτηση

Άλλες γλώσσες