Teorema dei numeri primi

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In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione approssimata, asintotica dei numeri primi. Per ogni numero reale positivo x, definiamo la funzione:

$\pi(x)\,:=\,{\rm numero\ dei\ primi\ minori\ o\ uguali\ a\ }\leq x$ .

Il teorema dei numeri primi afferma che:

$\pi(x)\approx\frac{x}{\ln(x)}$

dove ln(x) è il logaritmo naturale di x. Questa notazione vuole significare solo che il limite del quoziente delle due funzioni π(x) e x/ln(x) per x che tende ad infinito è 1; ciò non significa che il limite della differenza delle due funzioni, per x che tende ad infinito, è 0.

Un'approssimazione ancora migliore, e una stima per il termine di errore, sono date dalla formula:

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln(x)}}\right) \quad \mbox{ per }\quad x \rightarrow \infty$

(vedi notazione O grande). Qui Li(x) denota la funzione logaritmo integrale.

Quella che segue è una tabella che mette a confronto le tre funzioni (π(x), x/ln(x) e Li(x)):

x	π(x)	π(x) - x/ln(x)	Li(x) - π(x)	x/π(x)
10¹	4	0	2	2.500
10²	25	3	5	4.000
10³	168	23	10	5.952
10⁴	1,229	143	17	8.137
10⁵	9,592	906	38	10.430
10⁶	78,498	6,116	130	12.740
10⁷	664,579	44,159	339	15.050
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.360
10⁹	50,847,534	2,592,592	1,701	19.670
10¹⁰	455,052,511	20,758,029	3,104	21.980
10¹¹	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.280
10¹²	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
10¹³	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.900
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.200
10¹⁵	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.510
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,392	3,214,632	35.810
4 ·10¹⁶	1,075,292,778,753,150	28,929,900,579,949	5,538,861	37.200

Come conseguenza del teorema dei numeri primi si può ottenere un'espressione asintotica per l'n-esimo numero primo p(n):

$p(n)\sim n\ln(n).$

Si può anche dimostrare che la probabilità che un dato numero n sia primo è 1/ln(n).

Questo teorema fu congetturato per la prima volta da Adrien-Marie Legendre nel 1798 e dimostrato indipendentemente da Hadamard e de la Vallée Poussin nel 1896. La loro dimostrazione utilizzava metodi di analisi complessa, specialmente la funzione zeta di Riemann.

Grazie alla correlazione tra la funzione zeta di Riemann e π(x), l'ipotesi di Riemann assume un'importanza considerevole nella teoria dei numeri: se dimostrata, essa fornirebbe una stima molto migliore dell'errore presente nel teorema dei numeri primi rispetto a quelle attualmente disponibili.

Helge von Koch dimostrò più specificamente nel 1901 che, se l'ipotesi di Riemann è vera, il termine di errore nella relazione precedente può essere ridotto a:

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right)$ .

La costante nascosta dalla notazione O-grande è sconosciuta.

[modifica] Il problema della 'profondità'

Sono disponibili le cosiddette "dimostrazioni elementari" del Teorema, dimostrazioni che usano esclusivamente metodi di Teoria dei numeri. La prima fra queste è stata fornita in parte indipendentemente da Paul Erdös e Atle Selberg nel 1949. Precedentemente alcuni esperti nel campo hanno creduto che una dimostrazione simile non potesse essere trovata. In altre parole, è stato dichiarato, specialmente da G. H. Hardy, che l'analisi complessa era necessariamente coinvolta nel Teorema, portando al concetto di profondità dei teoremi. Metodi con sole variabili reali erano considerati essere inadeguati. Questo non era un concetto logico e rigoroso (e effettivamente non può esserlo), ma era piuttosto basato sull'opinione che dovesse esistere una simile gerarchia di tecniche (per ragioni di estetica, presumibilmente, nel caso di Hardy). La formulazione di questa convinzione è stata piuttosto scossa da una dimostrazione del Teorema basata sul teorema tauberiano di Wiener, benché questo possa essere aggirato assegnando al teorema di Wiener una 'profondità' stessa equivalente ai metodi complessi.

Il lavoro di Selberg - Erdös ha effettivamente messo in gioco l'intero concetto, mostrando che i metodi tecnicamente elementari (in altre parole la combinatoria) sono stati più incisivi di quanto ci si sarebbe atteso. I successivi sviluppi dei metodi del crivello hanno mostrato che essi svolgono un ruolo ben definito nella teoria dei numeri primi.