Hulk

See artikkel räägib matemaatika mõistest; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Hulk (täpsustus)

Hulk on üks nüüdisaegse matemaatika põhimõisteid. Hulga mõiste esialgseks ligikaudseks selgituseks võib öelda, et hulga all mõistetakse objektide (hulgateooria keeles elementide) kogumit (sõltumata objektide arvust).

Näitena tuuakse tavaliselt füüsiliste esemete kogumid: linnuparv, klassitäis õpilasi jne. Matemaatikas on hulkade elemendid siiski matemaatilised objektid, näiteks arvud.

Hulgad on igal juhul abstraktsed, mitte füüsilised objektid.

[redigeeri] Tutvustus

Hulgateooria rajas ja hulga mõistele andis esimesena range väljenduse Georg Cantor 19. sajandi lõpus. Nüüd põhineb peaaegu kogu matemaatika mõistestik hulgateoorial. 20. sajandi lõpupoole on hakatud hulga mõistet kasutama ka juba alghariduses.

[redigeeri] Hulga määratlemise viisid

Mõnda hulka saab määratleda sõnadega, näiteks "Eesti Vabariigi presidendid 20. sajandil" või "kõik paarisarvud 1 ja 191 vahel".

Teine viis hulga määratlemiseks on hulga elementide loetlemine, kirjutades need loogeliste sulgude vahele: {Konstantin Päts, Lennart Meri}; {2, 4, 6, ..., 188, 190}. Pika loetelu puhul on matemaatikas kombeks loetleda esimesed kolm elementi, seejärel kirjutada kolm punkti ning lõpuks tuua ära kaks viimast elementi. Vahel siiski ei anna 3 esimest ja 2 viimast elementi küllaldaselt teavet hulga määratlemiseks, samuti võib hulk olla lõpmata suur, mistõttu ei ole võimalik viimaseid elemente märkida.

Äsjadefineeritud hulkadest esimesse kuulub Lennart Meri, Arnold Rüütel aga ei kuulu sellesse hulka. Teise hulka kuulub näiteks arv 142, 143 aga mitte.

Hulga määratlemise seisukohast pole elementide järjestusel tähtsust, kuid ülevaatlikkuse huvides kirjutatakse näiteks reaalarvudest koosneva hulga elemendid enamasti kasvavas järjekorras. Ülevaatlikkus võib nõuda ka elementide korrastatud paigutamist muul alusel.

Tingimuse abil esitatud hulga puhul kasutatakse tähistust, kus loogelistes sulgudes on märgitud esiteks, millisest üldisemast hulgast elemendid võetakse, ning siis püstkriipsu järel tingimus, mida elemendid rahuldama peavad. Näiteks:

A = {n ∈ $\mathbb{N}$ | n on paarisarv, n > 1, n < 191}.

Enne püstkriipsu öeldakse siin, et n on naturaalarvude hulga element.

Kui hulka määratletakse sõnades, siis iseloomustatakse teda mingi tunnuse kaudu, mis on selle hulga elementidele iseloomulik. Mõnikord juhtub, et tunnus küll sõnastatakse, aga hulka määratleda ikkagi ei õnnestu (Russelli paradoks).

Sõna otseses mõttes loetleda saab muidugi üksnes lõplikke hulki. Kui loetelus kasutatakse mõttepunkte, siis on õigupoolest tegemist iseloomuliku tunnuse varjatud kasutamisega.

Tühjas hulgas ei ole ühtki elementi.

[redigeeri] Tähistused

Tavaliselt tähistatakse hulki suurtähtedega ja elemente väiketähtedega. Näiteks $x \in A$ tähendab, et $x$ on hulga $A$ element ehk $x$ kuulub hulka $A$ .

[redigeeri] Hulgad ja multihulgad

Hulk on niisugune elementide kogum, et kaks hulka on võrdsed ehk identsed siis ja ainult siis, kui iga ühe hulga element on ka teise hulga element ja ümberpöördult ehk neil on samad elemendid. Kui hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B (siis peab hulgas B olema vähemalt sama palju elemente kui hulgas A), siis öeldakse, et hulk A on hulga B alamhulk ehk osahulk. Seega on hulgad A ja B võrdsed (A=B) parajasti siis, kui A on B alamhulk ja B on A alamhulk. Näiteks naturaalarvude hulk $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, ...} on täisarvude hulga $\mathbb{Z}$ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} alamhulk.

Sealjuures pole tähtis, kui mitu korda kogumi elemente loetletakse. Näiteks {а, b}, {b, a} ja {a, b, b} tähistavad sama hulka, mille elemendid on a ja b. Siiski loetletakse elemente võimaluse korral (näiteks reaalarvude puhul) tavaliselt kasvavas järjekorras.

Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks, kui A on B alamhulk, aga B ei ole A alamhulk.

Elementide kogumit, mille puhul on oluline elemendi esinemise kordade arv, kuid mitte elementide järjekord, nimetatakse multihulgaks.

[redigeeri] Lõplikud ja lõpmatud hulgad

Kui hulgas on n elementi, kus n on naturaalarv, siis seda hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks võimsusega n.

Lõpmatul hulgal ei ole naturaalarvulist elementide arvu n, vaid lõpmata palju elemente. Lõpmatud hulgad erinevad lõplikest hulkadest muuhulgas selle poolest, et kui lõpmatust hulgast n (n on naturaalarv) elementi eemaldada, siis tema võimsus säilib: temasse jääb "sama palju" elemente, kui seal enne oli. Näiteks kui eemaldada naturaalarvude hulgast arvud 1 kuni 1 000 000, siis jääb järele hulk, mille võimsus on sama mis naturaalarvude hulgal. On ilmne, et lõplikel hulkadel sellist omadust ei ole: kui lõplikust hulgast eemaldada n elementi, siis hulga võimsus väheneb n võrra.

Võiks arvata, et lõpmatute hulkade võimsused on võrdsed: neil on kõigil "ühepalju" elemente. Osutub aga, et nii see ei ole. Sellest on juttu muuhulgas artiklites Cantori teoreem ja Cantori diagonaaltõestus.

[redigeeri] Hulga defineerimine

Hulga mõiste defineerimine ei ole lihtne, sest see on algmõiste.

Naiivses hulgateoorias hulga mõistet ainult selgitatakse. Georg Cantor ise on öelnud nii: "Hulk on palju, mida me mõtleme ühena."

Mõnikord öeldakse, et hulk on objektide (selle hulga elementide) kogum, mis on määratud nende iseloomuliku omadusega. Siin tuleb silmas pidada, et meil ei õnnestu kõigi hulkade jaoks sääraseid iseloomulikke tunnuseid sõnastada. (Peale selle ei arvesta naiivne hulgateooria, et on selliseid tunnuseid, mille abil hulka määratleda ei õnnestu (Russelli paradoks).

Jääb ebaselgeks, mida pidada elemendi omaduseks. Kas see on objekti omadus, et ta on antud hulga element?

Tänapäeva matemaatikas on elementide omadused määratud ainult eeldatavate elementidevaheliste suhetega (matemaatiliste struktuuridega), mitte elementide endi omadustega. Hulgateooriat õigupoolest elementide omadused üldse ei huvita; tähtis on ainult eeldatav võimalus elemente üksteisest eristada.

Aksiomaatilise hulgateooria mõnes variandis tehakse Russelli paradoksi ja teiste antinoomiate vältimiseks vahet hulgal ja klassil. Kõigepealt vaadeldakse kuuluvusseost (elemendiks olemise seost) ∈ klassideks nimetatavate objektide vahel ning seejärel defineeritakse hulk klassina, mis on mingi klassi element. Hulga täieliku definitsiooni annab aksiomaatilise hulgateooria aksiomaatika.

[redigeeri] Viited

Nüüdisaegne matemaatika konstrueerib hulgateooria meetoditeid kasutades samm-sammult naturaalarvud ning laiendab arvu mõistet.
Lauseloogika on seotud hulga mõistega.
Arvuteooria tegeleb muuhulgas algarvudega, mis moodustavad naturaalarvude hulga alamhulga.