Alamhulk

Venni diagramm: A on B alamhulk

Kui X ja Y on hulgad ja hulga X iga element on ühtlasi hulga Y element, siis öeldakse ja kirjutatakse:

hulk X on hulga Y alamhulk ehk osahulk
hulk X sisaldub hulgas Y;
X ⊆ Y;
hulk Y on hulga X ülemhulk;
Y ⊇ X.

Iga hulk Y on iseenda alamhulk.

Hulga Y alamhulka, mis ei võrdu hulgaga Y, nimetatakse hulga Y pärisalamhulgaks. Kui X on hulga Y pärisalamhulk, siis kirjutatakse: X ⊂ Y. Analoogiline terminoloogia ja tähistus kehtib ülemhulkade puhul.

Binaarset seost "... on ... alamhulk" nimetatakse sisalduvusseoseks.

[redigeeri] Tähistuse variandid

Mõnikord kasutatakse tähistust X ⊂ Y ka selleks, et märkida üles asjaolu, et X on Y alamhulk.

[redigeeri] Näited

Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk.
Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk.
Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk.
Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk.
Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk.
Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk.
Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga alamhulk.
Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk.
Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk.
Tühi hulk $\varnothing$ on mis tahes hulga Y alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

[redigeeri] Alamhulkade omadusi

Lause 1: Iga hulk A on iseenda alamhulk (refleksiivsus).

Lause 2: Kaks hulka A ja B on võrdsed siis ja ainult siis, kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk (antisümmeetrilisus).

Lause 3: Mis tahes kolme hulga A, B ja C puhul kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis A on hulga C alamhulk (transitiivsus).

Lause 4: Tühi hulk on iga hulga alamhulk.

Tõestus: Olgu antud mis tahes hulk A. Me tahame tõestada, et $\varnothing$ on hulga A alamhulk. Selleks tuleb näidata, et hulga $\varnothing$ kõik elemendid on hulga A elemendid. Aga hulgas $\varnothing$ ei ole elemente.

Kogenud matemaatiku jaoks on arutlus "hulgal $\varnothing$ ei ole elemente, järelikult kõik hulga $\varnothing$ elemendid on hulga A elemendid" ilmne, kuid algaja jaoks ei pruugi asi nii lihtne olla. Kui hulgal $\varnothing$ ei ole üldse elemente, kuidas "nad" siis saavad millegi muu elemendid olla? Sellest on võib-olla lihtsam aru saada, kui asja teistpidi vaadata. Selleks et tõestada, et hulk $\varnothing$ ei ole hulga A alamhulk, tuleks leida hulga $\varnothing$ element, mis ei ole ühtlasi hulga A element. Et hulgas $\varnothing$ elemente ei ole, siis see on võimatu ning seetõttu on $\varnothing$ tõepoolest hulga A alamhulk.

Laused 1, 2 ja 3 näitavad, et ⊆ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil. Lause 4 näitab, et $\varnothing$ on selles osalises järjestuses vähim element.