Алгоритми сортування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Алгоритм сортування — це алгоритм, що розв'язує задачу сортування, тобто здійснює впорядкування лінійного списку (масиву) елементів.

Зміст

1 Постановка задачі
2 Структури даних
3 Характеристики алгоритмів
- 3.1 Теорема про найкращий час сортування
  - 3.1.1 Доведення
4 Відомі алгоритми сортування
5 Походження терміну
6 Дивіться також

[ред.] Постановка задачі

Вхід алгоритму: послідовність з $n$ чисел $(a_1, a_2, \dots\;,a_n)$

Вихід алгоритму: перестановка $(a_{\pi\;(1)},a_{\pi\;(2)},\dots\;a_{\pi\;(n)})$ вхідної послідовності таким чином, що $a_{\pi\;(1)}\le\;a_{\pi\;(2)}\le\dots\le\;a_{\pi\;(n)}$ ( $\pi\;$ — перестановка послідовності чисел $1... n$ ).

Вхідна послідовність найчастіше представляється у вигляді n-елементного масиву, хоча може мати й інше представлення, наприклад, у вигляді зв'язного списку.

Приклад

Вхідна послідовність: (5, 6 ,1 ,8 ,5 ,7, 4)

Вихідна послідовність: (1, 4, 5, 5, 6, 7, 8)

[ред.] Структури даних

На практиці елементи, що впорядковуються, рідко бувають просто числами. Набагато частіше, кожен такий елемент є записом (англ. record). В кожному записі є ключ (англ. key), по якому власне і здійснюється впорядкування, в той же час є й інша супутня інформація. Алгоритм сортування на практиці має бути реалізован так, щоб разом з ключами переміщати і супутню інформацію. Якщо кожен запис містить супутню інформацію великого об'єму, то з метою звести до мінімуму переписування великих об'ємів інформації, впорядкування відбувається не у самому масиві елементів, а в масиві вказівників на елементи.

Сам метод сортування не залежить від того, чи впорядковуються тільки числа, чи також і супутня інформація, тому при описі алгоритмів для простоти припускають, що елементи є числами.

[ред.] Характеристики алгоритмів

Для алгоритму сортування (як і для будь-якого іншого сучасного алгоритму) основними характеристиками є: час необхідний на впорядкування n-елементного масиву і додаткова пам'ять необхідна для впорядкування. Крім цих двох характеристик, сортування буває стабільним чи нестабільним, з використанням додаткової інформації про елементи, чи без використання.

Для значної кількості алгоритмів середній і найгірший час впорядкування n-елементного масиву є $\;O(n^2)$ , це пов'язано з тим, що в них передбачені перестановки елементів, що стоять поряд (різниця між індексами елементів не перевищує деякого заданого числа). Такі алгоритми зазвичай є стабільними, хоча і не ефективними для великих масивів.

Інший клас алгоритмів здійснює впорядкування за час $O(n\log\;n)$ . В цих алгоритмах використовується можливість обміну елементів, що знаходяться на будь-якій відстані один від одного.

[ред.] Теорема про найкращий час сортування

Якщо алгоритм сортування в своїй роботі спирається тільки на операції порівняння двох об'єктів (≤) і не враховує жодної додаткової інформації про елементи, то він не може впорядкувати масив елементів швидше ніж за $O(n\log\;n)$ в найгіршому випадку.

[ред.] Доведення

На кожному кроці алгоритм проводить одне порівняння, результатом якого є один з двох варіантів:

$A\le\;B$
$A\ge\;B$

В залежності від результату порівняння алгоритм буде робити подальші дії. Значить всю роботу алгоритму можна представити у вигляді бінарного дерева в листах якого лежать можливі перестановки вхідного масиву.

Отже, дерево має $n!$ листів, значить висота дерева є $log(n!)$ . Час роботи в найгіршому випадку пропорційний висоті дерева: $O(\log(n!)) = O\left(\log\left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)\right) = O(n\log\;n)$

Ці швидкі алгоритми використовуються в реальних задачах. Проте більшість з них нестабільні. Стабільні алгоритми, що працюють за час $O(n\log\;n)$ потребують $\;O(n)$ додаткової пам'яті.

Відомий стабільний алгоритм сортування, що не вимагає додаткової пам'яті працює за час $O(n\log^2\;n)$

Ще один клас алгоритмів використовує в своїй роботі деяку додаткову інформацію про елементи, що впорятковуються (наприклад, те що вони є різними числами в деякому діапазоні). Завдяки цьому, вони працюють за час $\;O(n)$ .

[ред.] Відомі алгоритми сортування

За час $\;O(n^2)$

За час $O(n\log\;n)$

За час $\;O(n)$ з використанням додаткової інформації про елементи

За час $O(n\log^2\;n)$

сортування злиттям модифіковане

[ред.] Походження терміну

Термін сортування (англ. sorting) означає розділення елементів по певним ознакам (сортам) і не дуже точно описує поставлену задачу. Більш точним була б назва впорядкування (англ. ordering), але через перевантаженість слова „порядок“ (англ. order) різними значеннями, в цій задачі ним не користуються.