Algoritmus řazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Algoritmus řazení je algoritmus zajišťující seřazení daného souboru dat podle specifikovaného pořadí. Nejčastěji se řadí podle numerické velikosti čísel, případně abecedně. Řazení je velmi častá úloha, která je také částí mnoha dalších algoritmů; vývoji co možná nejefektivnějších algoritmů řazení se proto věnuje velké úsilí.

Z hlediska řazení se vstupní data chápou jako soubor dvojic klíč–hodnota, přičemž po seřazení je posloupnost klíčů monotónní, zatímco na připojené hodnoty se při řazení nebere zřetel a pouze se přesouvají vždy s odpovídajícím klíčem. Při existenci několika položek se stejným klíčem se však podle pořadí odpovídajících hodnot rozlišují stabilní a nestabilní algoritmy.

Obsah

1 Definice problému
2 Složitost
3 Klasifikace algoritmů
- 3.1 Běžné algoritmy
4 Reference

[editovat] Definice problému

Na vstupu je posloupnost $S = (S_1, S_2, \ldots, S_n)$ ; cílem je najít takovou posloupnost $S' = (S_1', S_2', \ldots, S_n')$ , pro kterou platí dvě základní kritéria:

Tato posloupnost je seřazená:

$S_1' \le S_2' \le \cdots \le S_n'$ .
Posloupnost $S'$ je permutací původní posloupnosti $S$ (obsahuje tedy stejná data, jen v jiném pořadí).

V definici relace uspořádání ≤ se přitom bere ohled pouze na klíče příslušných hodnot.

[editovat] Složitost

Pro seřazení množiny $n$ prvků existuje očividná dolní mez časové asymptotické složitosti $Ω(n)$ (každý prvek je potřeba alespoň jednou přečíst). Této dolní meze je ale možno dosáhnout jen při předem známé, omezené množině klíčů (např. interval v přirozených číslech). Lze dokázat, že u řazení, které je založeno na porovnávání dvojic klíčů (což je univerzální metoda použitelná pro libovolná data), je minimální časová složitost $Ω(n log n)$ .

[editovat] Klasifikace algoritmů

Podle různých kritérií se algoritmy řazení dají dělit do různých skupin. Dvě základní skupiny algoritmů jsou tzv. vnitřní a vnější řazení. Vnitřní řazení vyžaduje, aby všechna řazená data byla uložena v operační paměti, kde k nim má algoritmus možnost libovolně přistupovat. Pokud je dat tak velké množství, že v jednu chvíli může být v operační paměti jen nějaká část dat (a zbytek je ve vnější paměti, např. na pevném disku), je třeba použít vnější řazení.

Největší část algoritmů řazení je založena na porovnávání dvojic prvků; jedná se o univerzální metodu, kterou lze seřadit libovolná data v libovolné reprezentaci (stačí příslušná relace uspořádání). Pro některé konkrétní reprezentace nějak vymezené množiny dat lze sestrojit algoritmy, které fungují na jiném principu, např. na základě reprezentace řazených čísel v poziční číselné soustavě.

Kromě samotných řazených dat také algoritmus zpravidla potřebuje nějakou dodatečnou pracovní paměť. Pokud je velikost této paměti konstantní (nezávislá na množství řazených dat, označováno jako $O (1)$ ), algoritmus se označuje jako řazení na původním místě (in situ), jiné algoritmy však potřebují dodatečnou paměť, například místo o velikosti původních dat (tedy $O (N)$ v asymptotickém vyjádření), ve kterém generují seřazený výsledek.

Vstupní data mohou obsahovat několik prvků se shodným klíčem. Podle vzájemné polohy těchto prvků před a po seřazení (kterou lze detekovat podle přidružených dat, která nejsou součástí klíče) se rozlišují tzv. stabilní a nestabilní řadicí algoritmy: stabilní algoritmus zachovává vzájemné pořadí položek se stejným klíčem, u nestabilního není vzájemné pořadí prvků se stejným klíčem zaručeno. (Ale z libovolného nestabilního algoritmu lze učinit stabilní tím, že se klíč každé položky vstupních dat rozšíří o pozici položky v původním souboru.)

Podle chování na částečně seřazených souborech dat se rozlišují algoritmy přirozené a nepřirozené: přirozený algoritmus rychleji zpracuje seřazenou množinu než neseřazenou.

Ukázka řazení
Výběr	Vkládaní	Záměna
614532
1•64532	6•14532	145326
12•6453	16•4532	143256
123•645	146•532	132456
1234•65	1456•32	123456
12345•6	13456•2
123456

Dále lze algoritmy zhruba rozdělit podle základní myšlenky. Existují několik základních druhů algoritmů univerzální vnitřního řazení, přičemž některé pokročilejší algoritmy kombinují více postupů.

Řazení výběrem: V souboru se vždy najde nejmenší ze zbývajících položek a uloží na konec postupně budovaného seřazeného souboru.
Řazení vkládáním: Ze souboru neseřazených dat se postupně bere položka po položce a vkládá se na správné místo v seřazeném souboru (zpočátku prázdném).
Řazení záměnou: V souboru se vždy nalezne (nějakou metodou závislou na konkrétním algoritmu) nějaká dvojice prvků, která je ve špatném pořadí, a tyto prvky se navzájem zamění.
Řazení slučováním: Vstupní soubor se rozdělí na části, které se (typicky rekurzivně) seřadí; výsledné seřazené části se poté sloučí takovým způsobem, aby i výsledek byl seřazený.

Neexistuje žádný „dokonalý“ řadicí algoritmus, který by byl ideální pro všechna použití. Různé algoritmy mají různé vlastnosti co se týká jejich očekávané časové a paměťové složitosti, náročnosti implementace a dalších vlastností. Pro konkrétní podmínky se tak často navrhují specifické varianty.

[editovat] Běžné algoritmy

Přehled běžných univerzálních algoritmů řazení
Název		Časová složitost			Dodatečná paměť	Stabilní	Přirozená	Metoda
Anglicky	Česky	Minimum	Průměrně	Maximum	Dodatečná paměť	Stabilní	Přirozená	Metoda
Bubble sort	Bublinkové řazení	O(n)	O(n²)	O(n²)	O(1)	ano	ano	záměna
Heapsort	Řazení haldou	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	ne	ne
Insertion sort	Řazení vkládáním	O(n)	O(n²)	O(n²)	O(1)	ano	ano	vkládání
Merge sort	Řazení slučováním	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	ano	ano	slučování
Quicksort	Rychlé řazení	O(n log n)	O(n log n)	O(n²)	O(log n)	ne	ne	záměna
Selection sort	Řazení výběrem	O(n²)	O(n²)	O(n²)	O(1)	ano	ano	výběr
Shell sort	Shellovo řazení			O(n log² n)	O(1)	ano	ano	vkládání

Běžné algoritmy řazení založené na jiném principu
Název		Časová složitost	Dodatečná paměť	Stabilní	Stručný popis metody
Anglicky	Česky	Časová složitost	Dodatečná paměť	Stabilní	Stručný popis metody
bucket sort	Přihrádkové řazení	O(n · 2^k)	O(2^k)	ano	Podle hodnoty klíče se data roztřídí do připravených přihrádek seřazených podle velikosti
radix sort	Řazení tříděním podle základu	O(n · 2^k)	O(n)	ano	Postupné třídění po jednotlivých cifrách poziční číselné soustavy