Deljivost brez kvadrata
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Celo število n je v matematiki deljivo brez kvadrata tedaj in le tedaj, če ni deljivo s popolnim kvadratom, razen števila 1. Ali enakovredno, n je deljivo brez kvadrata, če in samo, če se v praštevilski razcepitvi n nobeno praštevilo ne pojavi več kot enkrat. Tudi drugače povedano: za vsak praštevilski delitelj p števila n, praštevilo p ne deli n / p. Na primer 10 je deljivo brez kvadrata, 20 pa ni. Prva števila, deljiva brez kvadrata so (OEIS A005117):
[uredi] Enakovredna označba števil deljivih brez kvadrata
Celo število n je deljivo brez kvadrata, če in samo, če je faktorski kolobar Z / nZ (glej modulska aritmetika) produkt polj. To izhaja iz kitajskega izreka ostankov in iz dejstva, da je kolobar oblike Z / kZ polje tedaj in le tedaj, če je k praštevilo.
Pozitivno celo število n je deljivo brez kvadrata samo, če je μ(n) ≠ 0, kjer je μ Möbiusova funkcija.
Za vsako celo število n množica vseh njegovih pozitivnih deliteljev postane delno urejena množica, če uporabimo deljivost kot relacijo urejenosti: a <= b, če a deli b. Ta delno urejena množica je vedno distributivna rešetka. Je Booleova algebra, če in samo, če je n deljiv brez kvadrata.
[uredi] Porazdelitev števil deljivih brez kvadrata
Če Q(x) označuje število števil deljivih brez kvadrata, manjših ali enakih x, potem velja:
(kjer je O zapis Landauov simbol (glej še π)). Gostota števil deljivih brez kvadrata je tako:
kjer je ζ Riemannova funkcija zeta.
Če Q(x,n) označuje število n-tih potenc števil deljivih brez kvadrata, manjših ali enakih x, potem velja enako:
Nekatera števila, deljiva brez kvadrata so podolžna števila, ne pa vsa. 2 in 6 sta podolžni števili, podolžni števili 12 in 20 pa npr. nista deljivi brez kvadrata.
