Value At Risk

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Value at Risk (VaR), "стоимость под риском". Распространено общепринятое во всем мире обозначение "VaR". Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.

VaR характеризуется тремя параметрами:

Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой ситуации. По базельским документам - 10 дней, по методике Risc Metrics - 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.
Уровень доверия (confidence level) - уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99%, в системе RiskMetrics - 95%.
Базовая валюта, в которой измеряется показатель.

VaR - это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99%), не будет превышена. Следовательно, в 1% случаев убыток составит величину, большую чем VaR.

Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: “Мы уверены на X% (с вероятностью X/100), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней”. В данном предложении неизвестная величина Y и есть VaR.

индекс $\ _i$ означает “доходность актива i“ (for σ и $μ$ ) и "актива i" (в остальных случаях)
индекс $\ _p$ означает “доходность портфеля”(for σ и $μ$ ) и "портфеля" (в остальных случаях)
все доходности вычисляются для выбранного периода
имеется N активов
$μ$ = ожидаемое доходность, т. е. средняя величина доходности
σ = стандартное отклонение
V = текущее значение (в денежных единицах)
$\omega_i \ = \ V_i \ / \ V_p$
$\boldsymbol{\omega}$ = вектор, состоящий из всех $ω i$ (T означает транспонирование)
$\boldsymbol{\Sigma}$ = ковариационная матрица = матрица ковариаций для N доходностей активов, т.е. NxN матрица

Имеем

(i) $\mu_p\ = \sum_{i=1}^N \omega_i \mu_i,$

(ii) $\sigma_p\ = \sqrt{\boldsymbol{\omega}^T \boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\omega}}$

Предположение о нормальности распределения доходностей позволяет нам вычислить z-уровень для данного доверительного уровня, так для 95% доверительного уровня имеем:

(iii) $\ VaR \ = \ - \ V_p \ ( \mu_p \ + \ 1.645 \sigma_p \ )$