Numero p-adico
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Il sistema dei numeri p-adici è stato descritto per la prima vola da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo p, il sistema dei numeri p-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto l'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.
L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri p-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei p-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo.
Più concretamente per un dato numero primo p, il campo Qp dei numeri p-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi Qp vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri p-adici per ogni p. Il campo Qp possiede una topologia derivata da una metrica, che è, a sua volta, derivata da una stima alternativa dei numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.
Nel campo delle curve ellittiche, i numeri p-adici sono conosciuti come numeri 
-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo p è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.
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[modifica] Motivazioni
L'introduzione più semplice ai numeri p-adici è considerare i numeri 10-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Prendete per esempio il numero ...9999 quindi eseguite su di esso delle operazioni aritmetiche. In altre parole si tratta di fare aritmetica, come quella che conoscete per i numeri reali, ma con un numero infinito di cifre. I riferimenti fatti di seguito sono semplici espedienti che giustificano le operazioni ordinarie. Eseguiamo la semplice operazione:
Che è vera perché il numero che otteniamo è analogo al precedente, cioè possiede un numero infinito di cifre e non troveremo mai un 1 a sinistra di esso. Così il primo risultato che abbiamo ottenuto è che per i numeri 10-adici ...9999 = -1. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono 9. Gli esperti di informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di 1 a sinistra; nei 2-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, avremo la cifra p-1 per in numeri p-adici.
