Теория категорий
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике и в теоретической физике.
Содержание |
[править] Определение
Категория — это:
- класс объектов ;
- для каждой пары объектов X,Y задано множество морфизмов ;
- для пары морфизмов и определена композиция ;
- для каждого объекта X задан тождественный морфизм ;
причём выполняются две аксиомы:
- операция композиции ассоциативна: и
- тождественный морфизм действует тривиально:
- Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.
[править] Примеры категорий
- Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
- Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
- VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
- Категория модулей.
Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.
- Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
- Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y.
[править] Коммутативные диаграммы
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:
[править] Дуальность
Для категории можно определить дуальную категорию , в которой:
- объекты совпадают с объектами исходной категории;
- морфизмы получаются «обращением стрелок»:
Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать дуальное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто дуальное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).
[править] Основные определения и свойства
[править] Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм
Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что и . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.
Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов End(A) = Mor(A,A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом idA.
Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов Aut(A).
[править] Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм
Мономорфизм — это морфизм такой, что для любых из следует, что g1 = g2. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.
Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых из следует g1 = g2.
Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.
Мономорфизм эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.
[править] Универсальный и терминальный объекты
Универсальный объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.
Если универсальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.
Дуальным образом определяется терминальный или коуниверсальный объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.
- Пример: В категории Set универсальным объектом является пустое множество , терминальным — множество из одного элемента .
- Пример: В категории Group универсальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.
[править] Прямое произведение, прямая сумма
Прямое произведение объектов A и B это объект A×B с эпиморфизмами и такой, что для любого объекта C с морфизмами и существует единственный морфизм такой, что диаграмма на рисунке коммутативна.
Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов.
Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
- Пример: В категории Set прямое произведение A и B это произведение в смысле теории множеств , а прямая сумма — несвязное объединение .
- Пример: В категории Ring прямая сумма это тензорное произведение , а прямое произведение — сумма колец .
- Пример: В категории VectK прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это сумма векторных пространств .
[править] Функторы
Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,
(Ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории объект категории и каждому морфизму морфизм так, что
- F(idA) = idF(A) и
- .
Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из в , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».
[править] Типы категорий
- Моноидальные категории
- Абелевы категории
- Топосы
[править] Смотрите также
- Естественное преобразование
- Предел
- Сопряжённые функторы
- Монады