Линейчатая поверхность
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В дифференциальной геометрии, линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если p(u) ― радиус-вектор направляющей, a m = m(v) ― единичный вектор образующей, проходящей через p(u), то радиус-вектор линейчатой поверхности есть
- r = p(u) + vm(u),
где v ― координата точки на образующей.
[править] Свойства
- Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
- Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической (теорема Бельтрами).
- Кроме того, если линейчатая поверхность F, не являющаяся развертывающейся, изгибается в линейчатую поверхность F', то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая (теорема Бонне).
- Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.
- Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.
- Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.