Teorema de Pappus
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O teorema de Pappus (atribuido a Pappus de Alexandria) afirma que dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos lineares a, b, c, então os pontos de intesecção x, y, z dos pares de linha Ab e aB, Ac e aC, Bc e bC são colineares.
A dualidade desse teorema afirma que dado um conjunto de linhasconcorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definida pelos pares de pontos resultantes dos pares de intesecção A∩b e a∩B, A∩c e a∩C, B∩c e b∩C são concorrentes.
A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.
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[editar] Afirmação e prova do teorema de Pappus
Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:
Se
(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,
e se
(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então
deve ser verdade que
(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.
Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:
Se
e se
então
[editar] Prova
Sendo
Nós temos que demonstrar que se α = 0 e β = 0, então γ = 0.
[editar] Passo 1
Utilizando a identidade
podemos expressar α, β, e γ na seguinte forma equivalente:
[editar] Passo 2
Aplicando as propriedades
obtemos
e então
[editar] Passo 3
Usando a propriedade distributiva do produto escalar:
[editar] Passo 4
Com as identidades
Podemos permutar os termos como segue:
[editar] Passo 5
Agora podemos domar as equações parar obter:
- α + β + γ = 0
- γ = − (α + β)
de onde segue que se α = 0 e β = 0, então γ = 0.