Paradoxo dos gêmeos

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O Paradoxo dos Gêmeos, ou Paradoxo de Langevin, é um experimento mental envolvendo a dilatação temporal proposta na Relatividade restrita.

[editar] Da dilatação temporal

A Relatividade Restrita prevê que, dado um referencial inercial S e um outro referencial inercial S tal que S se move com velocidade constante v em relação a S, por meio de uma Transformação de Lorentz entre referenciais, encontramos a relação entre as coordenadas x,y,z e t do sistema S e as coordenadas x',y',z' e t' do sistema S' .

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, obtemos

$\Delta t=\frac{t'-t_{0}'}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.$

Como v é obrigatoriamente menor que c, temos que, para o corpo em movimento, o tempo corre mais lentamente do que para o corpo em repouso.

[editar] Do enunciado

Sejam dois gêmeos A e B idênticos, estando o irmão A em uma nave espacial na qual ele viajará a uma velocidade muito próxima de c (velocidade da luz) - enquanto o outro, B, permanece em repouso na Terra. Para B, a nave está se movendo, e por conta disso ele pode afirmar que o tempo está correndo mais lentamente para seu irmão A que está na nave.

Analogamente, A vê a Terra se afastar, pelo que ele pode, da mesma forma, afirmar que o tempo corre mais lentamente para B.

Quando a nave retornar à Terra, qual dos dois efetivamente estará mais jovem?

[editar] Da solução

Em primeiro lugar, o enunciado parte de uma permissa errada. No quadro da relatividade restrita, a simultaneidade de acontecimentos não é garantida entre referenciais movendo-se um em relação ao outro, logo, não faz sentido comparar o correr do tempo para o gêmeo A com o correr do tempo para o gêmeo B sem referir qual o referencial em que essa comparação está a ser feita.

O que o gêmeo B pode afirmar é que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão A quando medido no seu referencial (de B). Do mesmo modo, o gêmeo A pode afirmar que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão B quando medido no seu referencial (de A). A situação dos dois gêmeos é simétrica enquanto cada qual estiver no seu referencial inercial.

Mas existe uma quebra de simetria fundamental no problema: somente o irmão B pode afirmar que esteve todo o tempo em um mesmo referencial inercial, a Terra, enquanto que o irmão A saiu do referencial inercial Terra e foi para um referencial movendo-se a velocidade constante em relação ao primeiro; mais tarde, teve de inverter o sentido do movimento (outra mudança de referencial inercial) e, finalmente, abrandar e regressar ao referencial em que se encontrava à partida (uma terceira mudança de referencial inercial).

Assim, a comparação do correr do tempo pode ser feita no referencial inercial da Terra - que foi onde B sempre esteve e de onde A partiu e chegou - e conclui-se que B é mais velho do que A.

Estas mudanças de referencial inercial implicam uma aceleração, e A, enquanto acelerado, encontra-se num referencial não-inercial.

Uma determinação precisa dos efeitos de deformação do espaço-tempo produzida por acelerações requer o formalismo matemático da Relatividade Geral, que contém as ferramentas necessárias para se lidar com referenciais genéricos.