Identidade trigonométrica

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Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo uma funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas: um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica, e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Notação: Em funções trigonométricas, será usada a abreviação ${sen}^2(x)\,\!$ para $(\operatorname{sen}(x))^2\,\!$ .

[editar] Das definições

$\tan(x) = \frac {\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,\!$

$\cot(x) = \frac {1}{\tan(x)}\,\!$

$\sec(x) = \frac {1}{\cos(x)}\,\!$

$\csc(x) = \frac {1}{\operatorname{sen}(x)}\,\!$

[editar] Periodicidade, Simetria e translações

Estes são facilmente deduzidos do ciclo unitário:

$\operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi)\,\!$

$\cos(x) = \cos(x + 2\pi)\,\!$

$\tan(x) = \tan(x + \pi)\,\!$

$\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}(x)\,\!$

$\cos(-x) = \cos(x)\,\!$

$\tan(-x) = -\tan(x)\,\!$

$\cot(-x) = -\cot(x)\,\!$

$\operatorname{sen}(x) = \cos(\frac {\pi}{2} - x)\,\!$

$\cos(x) = \operatorname{sen}(\frac {\pi}{2} - x)\,\!$

$\tan(x) = \cot(\frac {\pi}{2} - x)\,\!$

[editar] Do Teorema de Pitágoras

$\operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1\,\!$

$\tan^2(x) + 1 = sec^2(x)\,\!$

$\cot^2(x) + 1 = csc^2(x)\,\!$

[editar] Teoremas de Adição

A forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler. A fórmula da tangente segue das outras duas.

$\operatorname{sen}(x + y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) + \cos(x) \operatorname{sen}(y)\,\!$

$\operatorname{sen}(x - y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) - \cos(x) \operatorname{sen}(y)\,\!$

$\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)\,\!$

$\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)\,\!$

[editar] Fórmulas de duplo ângulo

Estas podem ser mostradas substituindo x = y nos teoremas de adição, e usando o Teorema de Pitágoras para as últimas duas. Ou usando a fórmula de de Moivre com n = 2.

$\operatorname{sen}(2x) = 2 \operatorname{sen} (x) \cos(x)\,\!$

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)\,\!$

$\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1\,\!$

$\cos(2x) = 1 - 2 \operatorname{sen}^2(x)\,\!$

[editar] Fórmulas de redução de potências

Resolva a terceira e a quarta fórmula de duplo ângulo para $\cos^2(x)\,\!$ e $\operatorname{sen}^2(x)\,\!$ .

$\cos^2(x) = \left(\frac {1 + \cos(2x)}{2}\right)$

$\operatorname{sen}^2(x) = \left(\frac {1 - \cos(2x)}{2}\right)$

[editar] Fórmulas de meio ângulo

Substitua x/2 por x nas fórmulas de redução de potência, então resolva para $\cos(x/2)\,\!$ e $\operatorname{sen}(x/2)\,\!$ .

$\cos(\frac {x}{2}) = \sqrt{\frac {1 + \cos(x)}{2}}$

$\operatorname{sen}(\frac {x}{2}) = \sqrt{\frac {1 - \cos(x)}{2}}$

[editar] Produtos para Somas

Estas podem ser provadas expandindo os membros direitos usando os teoremas de adição.

$\cos(x) \cos(y) = \frac {\cos(x+y) + \cos(x-y)}{2}$

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = \frac {\cos(x-y) - \cos(x+y)}{2}$

$\operatorname{sen}(x) \cos(y) = \frac {\operatorname{sen}(x+y) + \operatorname{sen}(x-y)}{2}$

[editar] Somas para Produtos

Substitua $x\,\!$ por $\frac{x+y}{2}$ e $y\,\!$ por $\frac{x-y}{2}$ nas fórmulas de produto para soma.

$\operatorname{sen}(x) + \operatorname{sen}(y) = 2 \operatorname{sen}\left(\frac {x+y}{2}\right) \cos\left(\frac {x-y}{2}\right)$

$\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left(\frac {x+y}{2}\right) \cos\left(\frac {x-y}{2}\right)$

[editar] Cálculo

Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que $\lim_{x\to\infty} {\sin x}/x = 1\,\!$ e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles são definidos por suas Séries de Taylor, então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.

$\frac {\partial}{\partial x} \operatorname{sen}(x) = \cos(x)$

O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação, por exemplo

$\frac {\partial}{\partial x} \cos(x) = -\operatorname{sen}(x)$

$\frac {\partial}{\partial x} \tan(x) = sec^2(x)$

As identidades de integral podem ser encontradas na tabela de integrais da wikipédia.

Trigonometria
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