Circuito LC

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Esquema elétrico de um circuito LC

Os circuitos LC se comportam como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicacões, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência.

Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar entre ele a uma frequência angular de

$\omega = \sqrt{1 \over LC}$ ,

onde

L é a indutância (em Henrys)
C é a capacitância (em farads).
$ω$ é a frequência angular (em radianos por segundo).

Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.

Índice

1 Frequência de ressonância
2 Análise do circuito
3 Impedância dos circuitos LC
- 3.1 LC série
- 3.2 LC paralelo
4 Seletividade
5 Ver também

[editar] Frequência de ressonância

A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é

$\omega = \sqrt{1 \over LC}$

A frequência equivalente, medida em hertz é

$f = { \omega \over 2 \pi } = {1 \over {2 \pi \sqrt{LC}}}$

[editar] Análise do circuito

Pela Lei da Voltagem de Kirchoff, nós sabemos que a voltagem através do capacitor, $V C$ deve ser igual à voltagem através do indutor, $V L$ :

V C = V L

Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:

i C + i L

= 0

Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que

$V _{L}(t) = L \frac{di_{L}}{dt}$

$i_{C}(t) = C \frac{dV_{C}}{dt}$

Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

$\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \frac{1}{LC} i(t) = 0$

Então definimos o parâmetro ω como segue:

$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$

Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:

$\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \omega^ {2} i(t) = 0$

O polinomial associado é $s 2 + ω 2 = 0$ , thus

s = + j ω

s = - j ω

onde j é a unidade imaginária.

Portando, a solução completa para a equação diferencial é

i (t) = A e + j ω t + B e - j ω t

e pode ser resolvida para $A$ e $B$ considerando-se as condições iniciais.

Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternante sinusoidal.

Se as condições iniciais são tais que $A = B$ , então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma sinusóide real com amplitude $2 A$ e frequência angular $\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$ .

Deste modo, a solução resultante se torna:

i (t) = 2 A c o s (ω t)

As condições iniciais que satisfariam este resultado são:

i (t = 0) = 2 A

$\frac{di}{dt}(t=0) = 0$

[editar] Impedância dos circuitos LC

[editar] LC série

Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:

Z = Z L + Z C

Escrevendo a impedância capacitiva como $Z C = i ω L$ , a impedância indutiva como $Z_{L} = \frac{-i}{\omega C}$ e substituindo nós temos:

$Z = i \omega L + \frac{-i}{\omega C}$

Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:

$Z = \frac{(\omega^{2} L C - 1)i}{\omega C}$

Note que o numerador implica que se $ω 2 L C = 1$ a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

[editar] LC paralelo

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:

$Z=\frac{Z_{L}Z_{C}}{Z_{L}+Z_{C}}$

e após a substituição de $Z L$ e $Z C$ , nós temos:

$Z=\frac{\frac{L}{C}}{\frac{(\omega^{2}LC-1)i}{\omega C}}$

o que simplifica a:

$Z=\frac{-L\omega i}{\omega^{2}LC-1}$

Note que $\lim_{\omega^{2}LC \to 1}Z = \infty$ porém para todos os outros valores de $ω 2 L C$ a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinida na frequência de ressonância do circuito LC.

[editar] Seletividade

Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quando maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.