Przestrzeń regularna
Z Wikipedii
Przestrzeń regularna i przestrzeń T3 to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.
Spis treści |
[edytuj] Definicje
Powiemy że w przestrzeni topologicznej X punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli
- dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie że i :
Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że punkt x i zbiór domknięty F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U,V.
Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.
[edytuj] Dyskusja nazewnictwa
Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń T3 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje
- przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
- przestrzeń T3 jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.
Z drugiej strony Engelking definiuje[2]
- bycie przestrzenią T3 i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).
Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także bedziemy się jej trzymać.
[edytuj] Przykłady
- Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest T3. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
- Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są . Na przykład rozważmy podzbiór płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze M wprowadzamy topologię τ przez określenie bazy otoczeń w każdym punkcie :
-
- jeśli y > 0, to ,
- jeśli y = 0, to składa się ze wszystkich zbiorów postaci , gdzie B jest zbiorem skończonym,
- , gdzie .
- Wtedy (M,τ) jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
- Istnieją przestrzenie T2 które nie są T3. Rozważmy na przykład zbiór X = [0,1] z topologią τ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na [0,1] o zbiór . Wtedy (X,τ) jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.
[edytuj] Własności
- Przestrzeń topologiczna X spełniająca warunek T1 jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy
-
- dla każdego punktu i jego otoczenia otwartego V (tak więc ) istnieje otoczenie U punktu x którego domknięcie jest zawarte w V (tzn ).
- Każda regularna przestrzeń topologiczna X która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
- Podzbiór przestrzeni T3 traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T3. Własność być przestrzenią T3 jest więc własnością dziedziczną.
- Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T3 jest przestrzenią T3.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 52.
- ↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 38. ISBN 3-88538-006-4