Przestrzeń T1
Z Wikipedii
Przestrzeń T1 – termin topologiczny odnoszący się do jednego ze słabszych aksjomatów oddzielania. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też przestrzeniami Frécheta, ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w innym znaczeniu.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest T1, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieje zbiór otwarty taki, że , ale .
Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń X jest przestrzenią T1 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jednopunktowy podzbiór X jest domknięty.
[edytuj] Przykłady i własności
- Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest T1, zwykle przestrzenie nie będące T1 uważa się za „bardzo patologiczne”. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
- Każda przestrzeń T2 jest przestrzenią T1.
- Istnieją przestrzenie T1, które nie są T2. Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. , ) jest przestrzenią T1, ale nie T2; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią Zariskiego, czyli topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
- Każda przestrzeń T1 jest przestrzenią T0, lecz istnieją przestrzenie T0, które nie są T1. Na przykład zbiór X = {a,b} wyposażony w topologię jest przestrzenią T0, ale nie T1.
- Podzbiór przestrzeni T1 traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T1. Własność być przestrzenią T1 jest więc własnością dziedziczną.
- Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T1 jest przestrzenią T1.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Bibliografia
- 1 Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 37. ISBN 3-88538-006-4
- 2 Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strony 38 i 51.