Baza otoczeń
Z Wikipedii
Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną, a . Powiemy że rodzina otoczeń punktu x jest bazą otoczeń w punkcie x jeśli każde otoczenie x zawiera element .
Równoważnie, rodzina otoczeń punktu x jest bazą otoczeń w x jeśli
.
System otoczeń dla przestrzeni X to rodzina taka, że jest bazą otoczeń w x dla każdego .
Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).
Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie x i podobnie dla systemów otoczeń.
[edytuj] Przykłady
- Zbiór wszystkich otoczeń punktu x jest bazą otoczeń w tym punkcie.
- Jeśli X jest przestrzenią dyskretną, to jest bazą otoczeń w . Jeśli X jest przestrzenią antydyskretną, to jest bazą otoczeń w .
- Jeśli X jest przestrzenią metryczną z odległością d i dla punktu oraz liczby dodatniej r > 0 położymy , to wtedy rodzina jest bazą otoczeń w x.
[edytuj] Charakteryzacja i własności
- Załóżmy że jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej X. Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:
- (BP1) Dla każdego , i dla każdego mamy że .
- (BP2) Jeśli , , to istnieje takie że .
- (BP3) Dla każdych , , można znaleźć takie że .
- Przypuśćmy że X jest niepustym zbiorem i jest systemem rodzin podzbiorów zbioru X spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech τ będzie rodziną wszystkich podzbiorów X które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny . Wówczas τ jest topologią na X i jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy że τ jest topologią generowaną przez .
Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T3 ale nie T3 1/2.
[edytuj] Funkcje kardynalne
Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:
- Charakter punktu w przestrzeni topologicznej X to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu oznaczany jest przez χ(x,X).
- Charakter przestrzeni X jest zdefiniowany jako
.