Krzywa Jordana
Z Wikipedii
Krzywa Jordana (albo łuk zwykły) - krzywa zamknięta na płaszczyźnie, prostowalna, bez punktów wielokrotnych.
Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń:
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie o krzywej Jordana
Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary - wewnętrzny i zewnętrzny.
Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych niegładkich w żadnym punkcie jak płatek Kocha jest to trudne zadanie. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.
[edytuj] Twierdzenie Jordana-Schönfliesa
Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tą krzywą na okrąg.
[edytuj] Twierdzenie Jordana-Brouwera
Każda n-1 wymiarowa sfera zanurzona w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary.
Twierdzenie to nie daje się niestety uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla n wymiarów - istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.
