Krzywa
Z Wikipedii
Krzywa to pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej.
Intuicyjnie jest to dowolna linia na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta. Może ona w szczególności rozgałęziać się i przerywać. Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania.
Obecnie przyjmowana jest następująca definicja matematyczna krzywej w dowolnej przestrzeni metrycznej:
Krzywa to continuum o wymiarze 1, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu.
Innymi słowy, przekładając na nieco mniej ścisły język, krzywa na płaszczyźnie to figura płaska o tej własności, iż możemy wokół każdego jej punktu nakreślić (niewielki) okrąg, który przecina się z nią jedynie w pojedynczych punktach.
Podana definicja pochodzi z lat 20. XX wieku, jednak krzywą próbowano zdefiniować już od starożytności:
- Euklides określał ją jako "długość bez szerokości" oraz "ograniczenie powierzchni". Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
- Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków.
- Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów (Φ(t),Ψ(t)), gdzie Φ i Ψ są funkcjami ciągłymi, zaś t jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa Jordana jest to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 Giuseppe Peano pokazał, że do tej definicji pasuje również kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peano).
- Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcje Φ i Ψ, na przykład dla funkcji różniczkowalnych dostajemy łuk regularny, a dla przedziałami liniowych - linię łamaną.
- Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.
- z dołączonym odcinkiem x=0, -1≤y≤1.
- Georg Cantor pod koniec XIX wieku podał następującą definicję: krzywa to takie continuum na płaszczyźnie, że w każdym otoczeniu każdego jej punktu znajduje się punkt płaszczyzny nie należący do tego continuum.
- W końcu w latach 20. XX wieku rosyjski matematyk Paweł Urysohn sformułował definicję podaną na początku artykułu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna definicji podanej przez Cantora.
Zobacz też:
