Całki eliptyczne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Całkami eliptycznymi nazywamy ważną klasę całek postaci

$\int R(x,\sqrt{W(x)})dx, \qquad (1)$

gdzie R(x,y) jest funkcją wymierną zmiennych x i y, a W(x) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że

P (x, y) = 0,

gdzie P jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp$ jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

$z(w)=\int_{w}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}},$

tzn. $\wp(z)=w$ , o ile z=z(w).

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

$\int\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),$ $\int\frac{(1-k^2 t^2) dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),$ $\int\frac{dt}{(1+ht^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),$

gdzie h jest parametrem zespolonym. Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie t=sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek

$\int\frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 sin^2\phi)}}\ \ (0<k<1),$ $\int\sqrt{(1-k^2 sin^2\phi)} d\phi\ \ (0<k<1),$ $\int\frac{d\phi}{(1+hsin^2\phi)\sqrt{(1-k^2 sin^2\phi )}}\ \ (0<k<1),$

które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ψ oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,ψ) i E(k,ψ). Parametr k występujący w funkcjach F i E nazywamy modułem.

Całki eliptyczne F i E nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami

$K(k)=F(k,\frac{\pi}{2}),$ $E(k)=E(k,\frac{\pi}{2}).$

Wartości całek eliptycznych zupełnych K i E są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznaych.

Praktyczną korzyścią z całek eliptycznych jest możliwość policzenia przybliżonego obwodu elipsy. Na przykład dla a=2 i b=1 mamy mimośród e=0,74. Obwód wtedy jest równy 4aE(e) czyli w przybliżeniu dla powyższych wartości 1,33.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../c/a/%C5%82/Ca%C5%82ki_eliptyczne.html"

Kategoria: Analiza matematyczna

Całki eliptyczne

Z Wikipedii

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach