Wet van Bernoulli

De Wet van Bernoulli beschrijft het stromingsgedrag van vloeistoffen of gassen, en relateert de drukveranderingen aan hoogte- en snelheidsveranderingen. De wet is vooral bekend door de consequentie dat hoe hoger de stroomsnelheid is, hoe lager de druk.

De Wet van Bernoulli is genoemd naar Daniel Bernoulli, hoewel het Leonhard Euler was die de vergelijking in de hiervolgende vorm als eerste afleidde. De formule is een vereenvoudigde vorm (onder strenge voorwaarden) van de wet van behoud van energie. In feite formuleert de wet het behoud van de energiedichtheid langs een stroomlijn voor stationaire stromingen in niet-visceuze, media met constante (massa)dichtheid. Langs een stroomlijn geldt:

$\begin{matrix} \frac 12 \end{matrix} \rho v^2 + \rho gh+ p= \mathrm{constant}.$

Hierin is:

v = snelheid [m s^-1]

g = gravitatie [m s^-2]

h = hoogteverschil in richting van de gravitatie t.o.v. referentieniveau [m]

p = statische druk [Pa]

ρ = massadichtheid [kg m^-3]

In de formule zien we de kinetische energiedichtheid $\begin{matrix} \frac 12 \end{matrix} \rho v^2$ , de zwaartekrachtsenergiedichtheid $\rho gh\,$ en de statische druk p.

Omgerekend naar lengte-eenheden levert dit voor het totale energieniveau H [m] van de stromende vloeistof:

$\frac{ v^2}{2g}+h+{p \over \rho g}=H .$

Hierin is $h +{p \over \rho g}$ het zgn. piëzometrisch niveau en ${v^2 \over 2 g}$ de snelheidscomponent.

De wet kan uitgebreid worden door toe te laten dat de temperatuur van het medium langs de stroomlijn verandert:

$\begin{matrix} \frac 12 \end{matrix} v^2+ gh + {p \over \rho}+\frac{u}{g}=\mathrm{constant}$

u: dichtheid van de energie-inhoud van het medium (indien het medium opgewarmd wordt, stijgt u)

De wet is van toepassing als de volgende aannames van toepassing zijn:

Viscositeit = 0
Stationaire stroming
ρ is constant

De wet geldt alleen voor twee punten op dezelfde stroomlijn.

Figuur wet van Toricelli

Aan de hand van deze vergelijking kan de wet van Torricelli, waarmee de snelheid van water onderaan een vrij reservoir berekend wordt, aangetoond worden:

$v_a^2/2+g.h_a+{p_a \over \rho} + {u_a \over g} = v_b^2/2+g.h_b+{p_b \over \rho} + {u_b \over g}$

We verwaarlozen de term v_a, stellen p_a=p_b (vrij reservoir), nemen h_a=0 en h_b=-h, en veronderstellen dat de inwendige energie van het water niet verandert; dan wordt de formule:

$0= v_b^2/2-g.h_b \Rightarrow v_b = \sqrt{2 g h_b}$