Partiële integratie

In de integraalrekening is partiële integratie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. De methode is vooral van toepassing wanneer de integrand geschreven kan worden als een product van twee afzonderlijke functies. De regel volgt uit de productregel voor afgeleiden.

Onderstel dat $f,g:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}$ twee differentieerbare functies zijn. Dan is

$\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx} = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b - \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}$

Dit is makkelijk aan te tonen door gebruik te maken van de productregel:

$\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx} + \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right) + f'\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \int_a^b {\left( {fg} \right)^\prime \left( x \right)dx} = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b$

Voor de onbepaalde integraal kunnen we dit ook verkort als volgt noteren, vergeet echter niet dat zowel f als g afhankelijk zijn van x:

$\int {fdg = fg - \int {gdf} }$

Inhoud

1 Voorbeelden

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Voorbeeld 1

Beschouw de integraal:

$\int x\cos (x) \,dx$

Uit de formule nemen we:

f = x, zodat df = dx,

dg = cos(x) dx, zodat g = sin(x).

Er volgt:

$\int x\cos (x) \,dx$	$= \int f \,dg$
	$= fg - \int g \,df$

$\int x\cos (x) \,dx = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx$

$\int x\cos (x) \,dx = x\sin (x) + \cos (x) + C$

[bewerk] Voorbeeld 2

In het vorige voorbeeld was een van de functies uit het product x. Partiële integratie is ook handig wanneer x tot een bepaalde macht voorkomt, in combinatie met bijvoorbeeld goniometrische of exponentiële functies, zoals:

$\int {x^3 e^x dx}$ en $\int {x^2 \sin \left( x \right)dx}$

Herhaaldelijk toepassen van deze methode zal de macht in x telkens doen verlagen indien we f = g kiezen. Men moet in deze gevallen partiële integratie dus zo vaak toepassen als de macht in x om uiteindelijk een integraal te verkrijgen die rechtstreeks oplosbaar is.

[bewerk] Voorbeeld 3

Een ander vaak voorkomende truc om sommige integralen op te lossen is de te integreren functie te beschouwen als een product van 1 met zichzelf. Dit kunnen we toepassen om de integraal van ln(x) te berekenen. We passen de regel rechtstreeks toe met f = ln(x) en dg = 1dx = dx:

$\int {\ln \left( x \right) \cdot 1dx = } x\ln \left( x \right) - \int {xd\left( {\ln \left( x \right)} \right)} = x\ln \left( x \right) - \int {x\frac{1} {x}dx }$ $= x\ln \left( x \right) - x + C = x\left( {\ln \left( x \right) - 1} \right) + C$

Categorie: Integraalrekening

Partiële integratie

Inhoud

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Voorbeeld 1

[bewerk] Voorbeeld 2

[bewerk] Voorbeeld 3

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen