Oneindigheid

Oneindig betekent letterlijk zonder einde. Dit is een begrip in de filosofie, zie daarvoor ook tijd en universum.

Een verzameling is oneindig als er tenminste een echte deelverzameling van is, die exact evenveel elementen bevat als de verzameling zelf.

Het symbool voor oneindig is een liggende acht of een lemniscaat: $\infty$ .

In de wiskunde is oneindig een grootheid die groter is dan alle andere getallen. Er bestaan verschillende soorten oneindigheid, wat aangegeven wordt door verschillende zogenaamde kardinaalgetallen die de mate van oneindigheid aangeven. Deze kardinaalgetallen worden aangegeven met de letter alef ( $\aleph$ ), gevolgd door een geheel getal.

[bewerk] Aftelbaar oneindig

$\aleph_0$ is de kleinste oneindigheid; deze wordt ook wel de aftelbare of discrete oneindigheid genoemd. $\aleph_0$ is het 'aantal' gehele alsmede het 'aantal' even getallen en het 'aantal' oneven getallen.

De naam 'aftelbaar oneindig' komt van het feit dat een aftelbaar oneindige verzameling een-op-een op de natuurlijke getallen afgebeeld kan worden. De elementen van een dergelijke verzameling kunnen dus achter elkaar worden gezet zodanig dat er een eerste getal is, een tweede getal, een derde getal enzovoort, waarbij de lijst alle elementen van de verzameling bevat.

[bewerk] Niet aftelbaar oneindig

Als een verzameling oneindig veel elementen bevat, en er géén een-op-een afbeelding construeerbaar is tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen, hebben we te maken met een overaftelbare verzameling.

Een voorbeeld is de verzameling van de reële getallen. Georg Cantor bewees, dat de verzameling van de reële getallen 'groter' is dan de verzameling natuurlijke getallen, hoewel het aantal elementen van beide verzamelingen oneindig is. Dit deed hij met behulp van de zogenaamde diagonaalmethode.