Lorentztransformatie

De Lorentztransformatie, genoemd naar zijn ontdekker, de Nederlandse natuurkundige Hendrik Antoon Lorentz, vormt de basis van de speciale relativiteitstheorie. Deze theorie werd geponeerd om de tegenstrijdigheden tussen de theorieën van elektromagnetisme en klassieke mechanica uit de wereld te helpen.

De Lorentztransformatie is een groepstransformatie die wordt gebruikt om de coördinaten van de tijdruimte van het ene coördinatensysteem $S$ over te dragen op een ander coördinatensysteem $S'$ , waarbij $S'$ en $S$ ten opzichte van elkaar een snelheid ${\mathbf u}$ langs $x$ hebben.

Een gebeurtenis met een tijdruimte-coordinaat (x, y, z, t) in $S$ en (x', y', z', t') in $S'$ , worden op de volgende manier met elkaar in verband gebracht door de Lorentztransformatie:

x' = γ(x - u t)

y' = y

z' = z

$t' = \gamma \left(t - \frac{u x}{c^{2}} \right)$

hierin is

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$

en $c$ is de lichtsnelheid.

Een beperking van deze formulering van de Lorentztransformatie is dat de oorsprong van de twee tijdruimte coördinatensystemen op elkaar moeten liggen, ofwel $(0,0,0,0)$ in $S$ moet hetzelfde zijn als $(0,0,0,0)$ in $S'$ .

De Lorentztransformatie kan ook als volgt met vectoren en matrices worden geschreven. In de volgende viervector staan ruimte en tijd:

$x^\mu = \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

Met een matrix worden de vier vergelijkingen:

$x'^\lambda = \Lambda^\lambda{}_\mu x^\mu \quad \mbox{oftewel} \quad \begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}.$

Hieruit is af te leiden dat de volgende uitdrukking gelijk (invariant) blijft onder de transformatie:

d s 2 = (c d t) 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2

daarom heet dit een Lorentz invariant.

[bewerk] Lorentz invariantie

Grootheden die onder de Lorentztransformatie niet veranderen worden Lorentz invariant genoemd. Het tijdruimte interval is een Lorentz invariant. Verder geldt dat als elke oplossing voor een bewegingsvergelijking een oplossing van diezelfde vergelijking blijft na Lorentztransformatie, dat deze vergelijking een Lorentz invariant is. Alle fundamentele vergelijkingen in de natuurkunde zijn Lorentz invariant, inclusief de Maxwellvergelijkingen van het elektromagnetisme. Dat wil zeggen dat dezelfde vergelijkingen kunnen worden gebruikt om de natuurkunde te beschrijven vanuit elk willekeurig standpunt, eenparig bewegend of niet.

[bewerk] Contractie

Een van de eigenschappen van de tijdruimte die uit de Lorentz transformatie volgt is de Lorentzcontractie: het feit dat wanneer iets een snelheid heeft die dichtbij de lichtsnelheid ligt, de afgelegde weg korter lijkt dan voor iemand die stilstaat. Dit effect wordt onder andere gebruikt in een undulator op een synchrotron.

Lorentzcontractie wordt ook wel Lorentz-FitzGeraldcontractie genoemd, aangezien de Ierse natuurkundige George Francis FitzGerald onafhankelijk van Lorentz dezelfde contractie had voorgesteld.

[bewerk] Geschiedenis

Lorentz ontdekte in 1900 dat de transformatie de Maxwellvergelijkingen niet veranderden. Albert Einstein ontwikkelde later de speciale relativiteitstheorie, die hierop gebaseerd is.

Categorieën: Natuurkunde | Relativiteit

Lorentztransformatie

[bewerk] Lorentz invariantie

[bewerk] Contractie

[bewerk] Geschiedenis

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen