Legendre-polynoom

In de wiskunde bedoelt men met de term Legendre-polynoom de oplossingen van de Differentiaalvergelijking van Legendre

N.B: Men bedoelt soms de geassocieerde Legendre-polynoom met deze term.

Inhoud

1 Differentiaalvergelijking

[bewerk] Differentiaalvergelijking

De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.$

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de oplossing van de vergelijking van Laplace tot deze vergelijking voert indien men te maken heeft met bolcoördinaten.

De Legendre vergelijking kan met een standaard methode opgelost worden door een machtreeks in te voeren. De oplossing is eindig (de reeks convergeert) wanneer |x| < 1. Bovendien is de waarde eindig voor x = ± 1, vooropgesteld dat n een niet-negatief geheel getal is, i.e. n = 0, 1, 2,... In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een polynome reeks van orthogonale polynomen, de Legendre-polynomen

Iedere Legendre-polynoom P_n(x) is een veelterm van graad n en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

$P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].$

[bewerk] Orthogonaliteit

Een belangrijke eigenschap van de Legendre-polynomen is dat zij orthogonaal zijn met betrekking tot het L₂ inproduct op het interval −1 ≤ x ≤ 1:

$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}$

(δ_mn is de Kronecker delta die gelijk is aan 1 als m = n en anders nul).

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van het Gram-Schmidt proces op het inproduct van de de polynomen {1, x, x², ...}. De reden voor het orthogonale gedrag is dat de Legendre vergelijking gezien kan worden als een Sturm–Liouville probleem

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} \right]P(x) = -\lambda P(x),$

waar de eigenwaarde λ overeenkomt met n(n+1).

[bewerk] Voorbeelden van Legendre-polynomen

Dit zijn de eerste paar Legendre-polynomen:

n	$P_n(x)\,$	norm
0	$1\,$	$\sqrt{1 \over 2}$
1	$x\,$	$\sqrt{3 \over 2}$
2	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,$	$\sqrt{5 \over 2}$
3	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,$	$\sqrt{7 \over 2}$
4	$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,$	$\sqrt{9 \over 2}$
5	$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,$	$\sqrt{11 \over 2}$
6	$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$	$\sqrt{13 \over 2}$

Grafisch zien zij (tot n=5) eruit zoals in bijgaande grafiek

[bewerk] Toepassingen in de natuurkunde

Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

$\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)$

hierbij zijn $r$ en $r'$ respectievelijk de lengte van de vectoren $\mathbf{x}$ en $\mathbf{x}^\prime$ en $γ$ is de hoek ttussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als $r > r'$ .

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt $\mathbf{x}$ wanneer de lading zich op punt $\mathbf{x}'$ bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Lengendre-polynomen komen voor als oplossingen van de Laplace-vergelijking voor de potentiaal $\nabla^2 \Phi(\mathbf{x})$ , in een gebied van de ruimte dat vrij is van ladingen. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de methode van scheiding van variabelen en als randvoorwaarden wordt axiale symmetrie verondersteld zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. $\widehat{\mathbf{z}}$ staat voor de symmetrie-as en $θ$ is de hoek tussen de waarnemer en de as $\widehat{\mathbf{z}}$ . De oplossing is dan:

$\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).$

$A_\ell$ and $B_\ell$ moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden ^[1].

[bewerk] Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen

Figure 2

De Lengendre-veelterm is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

$\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x)$

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen, De linkerzijde van de vergelijking genereert Legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal $Φ(r,θ)$ in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de z-as op punt $z = a$ (Fig. 2) is te schrijven als

$\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}$

Als de straal r vanaf het punt van waarnemeing P veel groter is dan a, is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot Legendre-polynomen:

$\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k} P_{k}(\cos \theta)$

hierbij is $η = a / r < 1$ $x = cosθ$ genomen.

In het omgekeerde geval r << a kunnen we ook ontwikkelen tot een Lengendre-veelterm, wanneer we de rol van r en a omkeren:

[bewerk] Overige eigenschappen

Legendre-polynomen zijn ofwel symmetrisch ofwel antisymmetrisch, dat wil zeggen

$P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,$

Aangezien de differentiaal vergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat $P_k(1) = 1. \,$