Laplace-vergelijking

De Laplace-vergelijking is een partiële differentiaalvergelijking, genoemd naar zijn ontdekker Pierre-Simon Laplace. De oplossingen van de Laplace-vergelijking zijn belangrijk in veel gebieden van de wetenschap, in het bijzonder in de studie van elektromagnetisme, in de astronomie en de vloeistofdynamica, omdat ze het gedrag van elektrisch, zwaartekrachts-, en vloeibaar potentieel beschrijven.

In drie dimensies is het probleem van de Laplace-vergelijking tweemaal-differentieerbare reëelwaardige functies φ van reële variabelen x, y, en z te vinden, dusdanig dat

Dit wordt vaak geschreven als

.

Hierin is de nabla-operator.

Een equivalente schrijfwijze is:

waarin div staat voor de divergentie en grad voor de gradiënt. Nog een andere schrijfwijze is

waarin Δ de Laplace-operator is.

De oplossingen van de Laplace-vergelijking worden harmonische functies genoemd. Een harmonische functie is altijd analytisch.

Als de rechterkant van de vergelijking als bepaalde functie F(x,y,z) wordt gespecificeerd, d.w.z.

,

dan wordt de vergelijking de Poissonvergelijking genoemd. De Laplace- en Poisson-vergelijkingen zijn de eenvoudigste voorbeelden van elliptische partiële differentiaalvergelijkingen.

Het Dirichlet-probleem voor de Laplace-vergelijking bestaat uit het vinden van een oplossing φ op één of ander domein D dusdanig dat φ op de rand van D is gelijk aan één of andere bepaalde functie. Aangezien de Laplace-operator in de warmtevergelijking voorkomt, is één fysieke interpretatie van dit probleem als volgt: leg de temperatuur op de rand van het domein vast en wacht tot de temperatuur in het binnengebied niet meer verandert; de temperatuurdistributie in het binnengebied zal dan gegeven worden door de oplossing van het overeenkomstige Dirichlet-probleem.

Bij de Neumann-randwaardenprobleem voor de Laplace-vergelijking wordt niet de functie φ zelf op de rand van D gespecificeerd, maar zijn normaal. Fysisch gezien beantwoordt dit probleem aan de constructie van een potentieel voor een vectorgebied waarvan alleen het gedrag aan de rand van D bekend is.

Als (om het even welke) twee functies oplossingen van de Laplace-vergelijking zijn, zijn hun som (of iedere andere lineaire combinatie) ook een oplossing. Dit principe, dat superpositie wordt genoemd, is een welkome eigenschap bij complexe problemen, aangezien ingewikkelde oplossingen kunnen worden geconstrueerd door eenvoudige oplossingen op te tellen.