Annuïteit

Een annuïteit is een vast bedrag dat periodiek (bv. jaarlijks) betaald of ontvangen wordt gedurende een bepaalde periode n. Een spaarder wenst bv. te berekenen welke eindsom hij zal verworven hebben indien hij elk jaar 100 euro spaart aan een rentevoet van 5%. De term wordt meestal gebruikt in verband met kredieten die terugbetaald worden via vaste bedragen die jaarlijks betaald moeten worden. Deze bedragen bestaan uit een deel aflossing en een deel rente. In het begin is het grootste deel van het bedrag rente, naar het einde toe wordt er meer kapitaal afbetaald.

De betaling zal normaal gezien op het einde van elk jaar plaatsvinden, men spreekt dan van een betaling "postnumerando", anderzijds kan men ook aan het begin van elk jaar betalen en dan spreekt men van een betaling "prenumerando".

In theoretische benaderingen zal men veronderstellen dat de rente constant wordt gehouden, dit is meestal niet het geval in de werkelijkheid. Men moet dus rekening houden met renteherzieningen die periodiek (meestal jaarlijks) aangepast zullen worden, waardoor de betaling uiteraard groter of kleiner kan worden.

zie ook actuele waarde

Inhoud

1 Formule voor jaarbedrag bij gegeven aantal termijnen
2 Huidige waarde van een vaste betaling over een vast aantal perioden
3 Afleiding van de algemene formule
4 Toekomstige (gecumuleerde) waarde van een annuïteit ingaande op einde periode (jaar)
- 4.1 benaderingen
5 Toekomstige (gecumuleerde) waarde van een annuïteit ingaande op BEGIN periode (jaar)
- 5.1 voorbeeld 4

[bewerk] Formule voor jaarbedrag bij gegeven aantal termijnen

Is er een aantal termijnen bekend, dan kan het bedrag wat jaarlijks moet worden afgelost, berekend worden met

$J = T \cdot \frac{i}{1-\frac{1}{(1+i)^n}}$

Hierin is:

J = jaarlijks af te lossen bedrag (aflossing + rente)
T = Totaal af te lossen bedrag (startbedrag)
n = aantal jaarlijkse termijnen
i = rentevoet (postnumerando)

[bewerk] Huidige waarde van een vaste betaling over een vast aantal perioden

Moet iemand jaarlijks een bedrag PMT betalen over een periode van n jaren, dan is de huidige tegenwaarde van deze verplichting:

$PV = PMT \frac {1-(1+i)^{-n}} {i}$

Hierin is:

PV = huidige waarde (afkorting uit het Engels 'present value' )
PMT = periodieke betaald bedrag, of "annuïteit" (afkorting uit het engels 'periodic payment amount' )
n = periode (in jaren)
i = rentevoet (in fracties, ofwel percentages gedeeld door 100)

Toegepast op een lening volgen hier enkele voorbeelden:

[bewerk] Voorbeeld 1

Iemand betaalt drie jaar lang jaarlijks 1000 euro, en de rentevoet is 4%.
Ingevuld in de formule wordt dan i = 0,04 (namelijk 4% = 4/100), n = 3 en PMT = 1000.

$PV= PMT \frac {1-(1+i)^{-n}} {i} = 1000 \frac {1-(1+0,04)^{-3}} {0,04}$ $= 1000 \frac {1 - 0,88899} {0,04} = 1000 * 2,775 = 2775$ Euro

Merk op dat de hierboven genoemde berekening hetzelfde is voor het volgende probleem: De rente op een spaarrekening bedraagt 4%. Je wilt drie jaar lang telkens 1000 euro van je spaarrekening afhalen, maar na die drie jaar 0 euro aan eindsaldo overhouden. Hoeveel moet je dan storten? Het antwoord is wederom 2775 euro.

[bewerk] voorbeeld 2

Iemand wil 5000 euro lenen, en deze lening binnen drie jaar terugbetalen tegen een rentevoet van 6%. Hoeveel moet hij dan jaarlijks betalen? Ingevuld in de formule wordt dan i = 0,06 (namelijk 6% = 6/100), n = 3 en PMT = 5000. Na omvormen van de formule krijgen we dus:

$PMT = PV \frac {i} {1-(1+i)^{-n}} = 5000 \frac {0.06} {1-(1+0,06)^{-3}}$ $= 5000 \frac {0,06} {1-0,83961} = 5000 \frac {0,06} {0,1604} = 1870$ Euro

Hieruit volgt dat er drie maal 1870 euro betaald zal moeten worden.

[bewerk] Voorbeeld 3

Volgende gegevens zijn gekend van een hypotheek(lening met huis als onderpand):

leensom=100.000 euro ,looptijd=20 jaar ,jaarrente=5,1% ,maandrente= 0,4154 % ,maandlast 659,12 euro Is deze maandlast correct ?

Hoeveel bedraagt de schuld aan de bank na de eerste afbetaling ?

check maandrente

maandrente= $((1 + j a a r r e n t e / 100) 1 / 12 - 1) * 100$

maandrente= $(1,051) 0,083333 - 1 * 100$

maandrente=0,41537 afgerond geeft dit 0,4154% deze is ok

bepaal de periode

periode n = 12 x 20 (12 maanden x 20 jaar)

periode n = 240

check maandlast

PMT = 100000 $\frac {0.004154} {1-(1+0,004154)^{-240}}$

PMT = 100000 $\frac {0.004154} {(1-0,36976225)}$

PMT=100000 0,006591163

PMT=659,12 euro dit is ook ok

Na betaling maand 1

betaald 659,12 euro

waarvan rente 100.000 x 0,004154=415,4 euro

waarvan kapitaal 659,12 - 415,4=243,72 euro

Dus na de eerste betaling is de schuld aan de bank verminderd met 243 euro

of de uitstaande schuld bedraagt dan nog 100.000 - 243= 99.757 euro

[bewerk] Afleiding van de algemene formule

De hier gegeven afleiding is geen formeel bewijs, maar geeft aan op welke wijze de formule wordt 'ontdekt'.

Stel: $P V$ is het startbedrag, en $J$ is het jaarlijks betaalde bedrag, samengesteld uit rente + aflossing. De rente is $i$ , de fractie van het nog openstaande totaalbedrag. Gezocht wordt de hoogte van $J$ waarvoor geldt dat na n jaar het totaalbedrag precies afgelost is.

Na jaar 1 wordt een bedrag $J \,$ betaald. Het rentegedeelte hiervan is $PV \cdot i$ . Dus het aflossingsdeel is $J - PV \cdot i$ . Na 1 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV - (J - PV \cdot i) = PV \cdot (1 + i) - J$ .

Na jaar 2 wordt een bedrag J betaald. Het rentegedeelte hiervan is $(PV \cdot (1 + i) - J) \cdot i$ . Dus het aflossingsdeel is
$J - (PV \cdot (1 + i) - J) \cdot i = J \cdot (1 + i) - PV \cdot (i + i^2)$ .
Na 2 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV \cdot (1 + i) - J - \{J \cdot (1 + i) - PV \cdot (i + i^2)\} =$ $PV \cdot (1 + 2i + i^2) - J \cdot (2 + i)$ .

Na jaar 3 wordt wederom een bedrag J betaald. Het rentegedeelte hiervan is
$(PV \cdot (1 + 2i + i^2) - J \cdot (2 + i)) \cdot i =$ $PV \cdot (i + 2i^2 + i^3) - J \cdot (2i + i^2)$ . Dus het aflossingsdeel is weer J minus het rentedeel, dus
$J \cdot (1 + 2i + i^2) - PV \cdot (i + 2i^2 + i^3)$ .
Na 3 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV \cdot (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - J \cdot (3 + 3i + i^2)$

Ook na 4 jaar wordt een bedrag J betaald. Het rentegedeelte is
$PV \cdot (i + 3i^2 + 3i^3 + i^4) - J \cdot (3i + 3i^2 + i^3)$
dus het aflossingsdeel is $J \cdot (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - PV \cdot (i + 3i^2 + 3i^3 + i^4)$ .
Na 4 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV \cdot (1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4) - J \cdot (4 + 6i + 4i^2 + i^3)$

Nu, na 4 keer itereren, zijn we zover dat we in het resultaat de algemene formule voor het openstaande bedrag na n jaar kunnen herkennen. Dit bedrag is
$PV \cdot (1 + i)^n - J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i$

Gezocht wordt $J$ waarvoor geldt dat na n jaar het totaalbedrag precies afgelost is. De eis is dus dat het hier gegeven bedrag exact op nul uitkomt:
$PV \cdot (1 + i)^n - J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i = 0$
Hieruit volgt dat $PV \cdot (1 + i)^n = J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i$
en dus dat $J = \frac{PV \cdot (1 + i)^n}{\{(1 + i)^n - 1\}/i} = PV \cdot \frac{i(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1} = PV \cdot \frac{i}{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}$
We kunnen dit ook schrijven als
$PV = J \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n} = J \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$

[bewerk] Toekomstige (gecumuleerde) waarde van een annuïteit ingaande op einde periode (jaar)

FV = PMT $\frac {(1+i)^n-1} {i}$

FV = toekomstige waarde (afkorting uit het Engels 'future value' )

Dit is gelijk aan de waarde die na n jaar ontstaat bij het ieder kalenderjaar, te beginnen op 31 december van het eerste jaar, een bedrag PMT op de bank zetten tegen een rentefactor i.

[bewerk] benaderingen

Opmerking: een zeer ruwe benadering hiervan is [ PMT $\cdot \, n \cdot ( 1 + \frac{n-1}{2} i )$ ] , dus n maal het jaarlijks ingelegde bedrag, plus de gemiddelde rente.

Voor een ruwe benadering van het rente op rente effect moet ook een volgende term in de benadering worden meegenomen:
[ PMT $\cdot \, n \cdot ( 1 + \frac{n-1}{2} i + \frac{(n-1)(n-2)}{6} i^2 )$ ]