Algoritme

Principes

Complexiteitstheorie

Modellen

Algoritme

Theorieën

Een algoritme (van het Arabische woord algawarizmiat: الخوارزميات) is een eindige reeks instructies om vanuit een gegeven begintoestand het daarbij behorende doel te bereiken. Dat doel kan van alles zijn met een herkenbare eindsituatie, eindpunt of resultaat. De instructies kunnen in het algemeen omgaan met eventualiteiten die bij het uitvoeren kunnen optreden. Algoritmen hebben in het algemeen stappen die zich herhalen (iteratie) of die beslissingen (logica of vergelijkingen) vereisen om de taak te voltooien.

Eenzelfde taak kan gewoonlijk met verschillende reeksen instructies worden opgelost. Het verschil ligt dan meestal in de hoeveelheid tijd, ruimte of inspanning die het algoritme vergt; dit is de complexiteit van een algoritme. Een recept is een voorbeeld van een algoritme. Om aardappelsalade te maken kan het ene recept de instructie "schil de aardappel" bevatten en daarna de instructie "kook de aardappel". Bij een ander recept kunnen die twee stappen omgedraaid zijn. Beide recepten zullen echter vragen deze stappen voor alle aardappelen uit te voeren en het eindresultaat is een lekkere aardappelsalade.

Het correct uitvoeren van een algoritme zal in het algemeen geen probleem kunnen oplossen als het algoritme fouten bevat of bepaalde problemen niet herkent. Bijvoorbeeld het recept voor aardappelsalade levert geen resultaat op als er geen aardappelen zijn, zelfs als alle handelingen worden verricht alsof er aardappelen waren.

[bewerk] Formele algoritmen

Algoritmen zijn essentieel voor de manier waarop computers informatie verwerken, omdat een computerprogramma een algoritme is dat de computer vertelt specifieke stappen in een specifieke volgorde uit te voeren om een bepaald eindresultaat te bereiken.

In het algemeen worden bij algoritmen die informatie verwerken data gelezen van een invoerapparaat en weggeschreven naar een uitvoerapparaat; de informatie kan ook bewaard worden voor later. Opgeslagen data worden bij het analyseren van algoritmen gezien als de "interne toestand" van het apparaat dat het algoritme uitvoert.

Voor elk rekenkundig proces moet een algoritme nauwkeurig gedefinieerd worden: het specificeert namelijk hoe het apparaat zal reageren op elke mogelijke invoer en interne toestand. Omdat een algoritme een exacte lijst is met exacte stappen, is de volgorde waarin de berekening gebeurt kritisch voor het correct functioneren van het algoritme. Uniek aan het concept van formele algoritmen is de toewijzing van een waarde aan een variabele. Dit komt voort uit de notie van geheugen als kladblok.

[bewerk] Algoritme versus computerprogramma

Waar een algoritme de beschrijving is van een oplossing van een probleem is een computerprogramma (in een of andere programmeertaal) de implementatie van dat algoritme. De verschillende manieren om tegen een probleem aan te kijken en het te beschrijven hebben in de loop van de jaren ook verschillende vormen van programmeren opgeleverd: imperatief programmeren, objectgeoriënteerd programmeren, aspectgeoriënteerd programmeren, logisch programmeren, symbolisch programmeren, functioneel programmeren.

In imperatief programmeren worden instructies expliciet opgeschreven, waarbij de berekening bovenaan begint en vervolgens stap voor stap naar beneden verloopt. Dit heet de control flow van een algoritme.

Een andere manier om tegen algoritmen aan te kijken is functioneel programmeren. In programma's van dit type worden algoritmen gezien als wiskundige functies die elkaar kunnen aanroepen. Diezelfde functies kunnen ook aan variabelen worden toegewezen en zelfs als parameter in een functieaanroep gebruikt worden.

[bewerk] Voorbeeld

Een voorbeeld van een algoritme is het algoritme van Euclides, dat de grootste gemene deler van twee strikt positieve getallen in de variabelen a en b geeft. De informele beschrijving van dit algoritme is als volgt:

Zolang a en b niet gelijk zijn:
- Trek van het grootste van de twee het andere af.
Zodra ze gelijk zijn, is de grootste gemene deler a (of b).

In pseudocode:

function ggd(a,b)
    if a = b
        return a
    else if a < b
        return ggd(a, b-a)
    else
        return ggd(a-b, b)
end

Dit algoritme is recursief.

[bewerk] Geschiedenis

Het woord algoritme is een verbastering van het oud-Engelse woord algorism, dat van het Latijnse woord algorismus komt, dat weer voortkomt uit de naam van de Perzische wiskundige Al-Chwarizmi (ca. 780 - ca. 845). Hij was de auteur van het boek al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr w'al-muqabala (Boek van de beknopte rekenkundige algebra en handelsbalans) dat de algebra in de Westerse wereld introduceerde. Het woord algebra zelf komt van al-Jabr uit de titel van het boek. Het woord algorisme verwees oorspronkelijk alleen naar de regels voor het rekenen met Arabische cijfers, maar was in de 18e eeuw naar algoritme geëvolueerd. Het woord algoritme wordt nu gebruikt voor alle eindige procedures om problemen op te lossen of taken uit te voeren.

Het eerste voor een computer geschreven algoritme is te vinden in de notities van Ada Byron over de analytische machine, geschreven in 1842. Daarom wordt zij wel als 's werelds eerste computerprogrammeur beschouwd.

Het ontbreken van wiskundige strengheid in de definitie van een "goed gedefinieerde procedure" voor een algoritme vormde een probleem voor de wiskundigen en logici van de 19e en begin 20e eeuw. Dit probleem werd grotendeels opgelost met de beschrijving van de Turingmachine, een abstract model van een computer, door Alan Turing, en de demonstratie dat elke tot dan toe gevonden methode om "goed gedefinieerde procedures" te beschrijven op een Turingmachine uitgevoerd kon worden (een uitspraak die wel bekend is als de stelling van Church-Turing).

Heden ten dage is het formele criterium voor een algoritme dat het een procedure is die geïmplementeerd kan worden op een volledig gespecificeerde Turingmachine of een van de equivalente formalisaties. Turings eerste interesse lag bij het beslissingsprobleem: hoe te beslissen wanneer een algoritme een eindige procedure beschrijft. In de praktijk is de complexiteitstheorie meer van belang: onder andere het uitdagende probleem van algoritmen met de naam NP-compleet valt hieronder. Er wordt verondersteld dat deze problemen meer dan polynomische tijd vergen.