Número triangular

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Se muestran los seis primeros números triangulares, así como su término general. Además de la denotación expuesta, un número triangular puede indicarse poniendo entre paréntesis el lado del triángulo correspondiente. Por ejemplo, el 10 es el número triangular de lado 4, es decir el 10(4)

Un número triangular es un número que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón.

Como cada fila es una unidad más larga que la anterior, se puede ver que un número triangular es igual a la suma de enteros consecutivos, concretamente, el n-ésimo número triangular es la suma de los números naturales desde 1 hasta n.

Así, la fórmula para el n-ésimo número triangular es 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n = n(n+1)/2.

También es igual al coeficiente binomial

${n+1 \choose 2}$

[editar] Suma de dos números triangulares consecutivos: número cuadrado

La suma de dos números triangulares consecutivos, $T n$ y $T n - 1$ es un cuadrado perfecto, o, si se quiere en la terminología pitagórica, un número cuadrado. Demostrémoslo. Sean

T n

= $\begin{matrix}\frac{n(n+1)}{2}\end{matrix}$

T n - 1

= $\begin{matrix}\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}\end{matrix}$ = $\begin{matrix}\frac{n(n-1)}{2}\end{matrix}$

NÚMEROS CUADRADOS Y OBLONGOS. A la izquierda se representa el número cuadrado de orden 4, conformado por los números triangulares 6(3), en verde, y 10(4), en rojo. A la derecha se muestra el número oblongo que resulta de la yuxtaposición de 10(4) consigo mismo

sumando

T n

T n - 1

= $\begin{matrix}\frac{n(n+1)}{2}\end{matrix}$ + $\begin{matrix}\frac{n(n-1)}{2}\end{matrix}$

es decir

T n

T n - 1

n 2

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo $T 3$ = 6 y $T 4$ = 10. Efectivamente,

T 3

T 4

= 6 + 10 = 16 =

42

Función recursiva

El n-esimo número triangular también se puede calcular de la siguiente manera

Si n > 0 entonces

  t(n) :=t(n-1) + n

sino

  t(n) :=0

función hecha en pascal (recursiva)

function triangular(número :integer):integer;

{Pre: se ingresa un número entero positivo Post: Devuelve el n-esimo número triangular del número ingresado}

begin

   if número > 0 then
       triangular :=triangular(número - 1) + número
   else
       triangular :=0;

end;

[editar] Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

T n

T n

= 2

T n

= 2 $\begin{matrix}\frac{n(n+1)}{2}\end{matrix}$

T n

n (n + 1)

que es la expresión buscada. En la figura se ve como del número triangular $T 4$ resulta el número oblongo de (5·4) puntos.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../n/%C3%BA/m/N%C3%BAmero_triangular.html"

Categoría: Teoría de números

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[editar] Suma de dos números triangulares consecutivos: número cuadrado

[editar] Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

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