軌道角運動量
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軌道角運動量(Orbital angular momentum)：原子において、原子核を回る軌道上の電子の角運動量の代表的なものの一つ。
まず（原子核＝中心力場の周りを回る電子の）古典的な角運動量lは、
で表される。rは電子の位置ベクトル、pは運動量、×は外積である。直交座標系を考え、運動量は、
と量子化されるので（
でhはプランク定数）、直交座標(x,y,z)各成分の軌道角運動量(lx,ly,lz)は、
となる。これらに関して以下の関係が成り立つ。
![\left[ l_y , l_z \right] = l_y l_z - l_z l_y = i \hbar l_x](../../../math/0/2/4/024e1a8a04fb97879a9bc2511ce394b0.png)
![\left[ l_z , l_x \right] = l_z l_x - l_x l_z = i \hbar l_y](../../../math/0/3/e/03e47b248dfae3ae16c47d62f3b9342c.png)
![\left[ l_x , l_y \right] = l_x l_y - l_y l_x = i \hbar l_z](../../../math/7/e/5/7e51a3cc141e38f03249a62c4c202bed.png)
上記の関係を交換関係と言う。次に、
として、
![\left[ \mathbf{l}^2, l_x \right] = \left[ \mathbf{l}^2, l_y \right] = \left[ \mathbf{l}^2, l_z \right] = 0](../../../math/1/d/2/1d23eaeac1fa28d48d6463bd962e42cd.png)
となる。上の場合、
は交換可能（可換）であり、これはこれら二つの演算子に対し、同時に固有関数になるものが存在することを意味する。当該する固有関数には球面調和関数がある。演算子をこれに作用させると（以下、極座標表示で考える）、
となる。Ylm(θ,φ)が球面調和関数で、
が、それぞれの固有値である。この時、
、
は量子数であり、
となる。を方位量子数、を磁気量子数と言う。
