双曲線

双曲線（そうきょくせん）とは、2次元ユークリッド空間 R² 上で定義され、ある2点 P , Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。また、この P , Q のことを焦点と呼んだりもする。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (*)$

この場合、焦点の座標は

$P = (-\sqrt{a^2+b^2},0) \ , \ Q = (\sqrt{a^2+b^2},0)$

と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2a となる。また、双曲線には 2 つの漸近線が存在しており、

$bx+ay = 0 \ , \ bx-ay = 0$

である。漸近線が直交している、すなわち a=b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線と呼んだりする。

反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：a²=b²=C を直交変換によって π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。

双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

$\begin{cases} x = \pm a \cosh t \\ y = b \sinh t \end{cases}$

[編集] 円錐曲線としての双曲線

離心率が e であるような円錐曲線を C_e とする。このとき、e > 1 であれば、 C_e は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = -f , 焦点の一つが P = (f,0) となったとする。双曲線の任意の点 T = (x,y) に対し、方程式

e (x - f) = d (P, T)

が成立するが、d(P,T) = sqrt((x-f)² + y²) となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、

$x^2 + 2 \left( \frac{e^2+1}{e^2-1} \right) fx - \frac{y^2}{e^2-1} = -f^2$

さらに x に関して平方完成させることにより、

$\left(x+\left(\frac{e^2+1}{e^2-1}\right)f \right)^2 - \frac{y^2}{e^2-1} = \left(\frac{2e}{e^2-1}f \right)^2$

これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに直交変換：X=x+(e^2+1)/(e^2-1)*f , Y=y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

また、双曲線は、円錐を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界である。