シュヴァルツシルトの解

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シュヴァルツシルトの解は、一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式（重力場の方程式）の解の1つで、カール・シュヴァルツシルト (K. Schwarzschild)が1916年に導き出した。球対称な時空かつ真空な時空を仮定して得られるアインシュタイン方程式のもっとも簡単な解である。解は、通常、 $r\,$ を動径座標とする球座標を用いて、

$ds^{2} = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2+ r^2 d\Omega^2$

と表現される。ここで $G$ は重力定数, $M$ は重力を及ぼす中心物体の質量を表し、

$d\Omega^2 = d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\,$

は、2次元球面を表す計量である。

この解は中心の天体が周囲に与える空間の歪みを表すので、一般相対性理論の効果を計算するときの第一近似として、天体の周囲での物体の運動を計算するときなどに広く応用される。

この解で特異性を持つ半径

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

はシュヴァルツシルト半径と呼ばれ、長らくその物理的解釈は不明であった。現在では、この半径の特異性は座標の取り方による見かけ上のものであることが説明されるが、 $r=0\,$ の中心の特異性は除去できない。シュヴァルツシルト解は、ブラックホールの存在を予言するものでもあった。大質量の星の重力崩壊の後には、ブラックホールが形成されると考えられるが、この解によるブラックホールのモデルをシュヴァルツシルト・ブラックホールと言う。シュヴァルツシルト半径は、ブラックホールの事象の地平線の位置を表す。

バーコフの定理により、真空かつ球対称でのアインシュタイン方程式の解は、シュヴァルツシルトの解に限られることが示される。

シュヴァルツシルト・ブラックホールに電荷を持たせた解は、ライスナー・ノルドストロム解である。現実の重力崩壊現象で形成されるブラックホールは、回転するブラックホールになることが普通と考えられる。回転するブラックホール解としては、カー解と、さらに電荷を持たせたカー・ニューマン解が唯一の解として知られている。

第一次世界大戦中、シュヴァルツシルトは一般相対性理論を出兵先のロシアで知り、戦地でその計算に勤しんでこの解を導き出したという。彼はその研究結果をアルベルト・アインシュタインに送り、その半年後に戦死した。