Dimostrazione per assurdo

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La dimostrazione per assurdo (per cui si usa anche la locuzione latina reductio ad absurdum) è un tipo di argomentazione logica in cui si assume temporaneamente un'ipotesi, si giunge a un risultato assurdo, e quindi si conclude che l'assunzione originale deve essere errata, siccome ha condotto a tale risultato assurdo. È nota anche come ragionamento per assurdo. Fa uso del principio del terzo escluso: un enunciato che non può essere falso, deve essere vero.

[modifica] Nella filosofia e nel ragionamento quotidiano

Una dimostrazione per assurdo può essere fatta per sostenere molte tesi. Si consideri il seguente dialogo, per esempio.

A — Dovresti rispettare le credenze di C, perché tutte le credenze sono di uguale validità e non si possono rigettare.

B — Che ne dici della credenza di D? (Dove D crede qualcosa che è considerato errato dalla maggior parte delle persone, come il Nazismo o il fatto che il mondo sia piatto)

A — Penso sia giusto rigettare la credenza di D.

B — Se è giusto rigettare la credenza di D, allora non è vero che nessuna credenza può essere rigettata.

Perciò, posso rigettare la credenza di C se posso dare ragioni che suggeriscono che anch'essa è scorretta.

Un ragionamento più sottile, ma ancora più forte da un punto di vista filosofico, siccome non si basa sul fatto che A accetti che l'opinione di D sia errata, sarebbe la seguente.

A — Dovresti rispettare le credenze di C, perché tutte le credenze sono di uguale validità e non si possono rigettare.

B —

1. Io rigetto questa tua credenza e credo che non sia valida.
2. Secondo il tuo enunciato, questa mia credenza (1) è valida, come tutte le altre credenze.
3. Tuttavia, il tuo enunciato contraddice il mio e lo rende non valido, siccome ne è l'esatto contrario.
4. Le conclusioni di 2 e 3 sono incompatibili e contraddittorie, perciò il tuo enunciato è logicamente assurdo.

In entrambi i casi, B ha usato una dimostrazione per assurdo per sostendere la sua tesi.

[modifica] In matematica

Supponiamo di dover dimostrare la proposizione p. Il procedimento consiste nel mostrare che assumere "non p" (cioè che p sia falso) conduce una contraddizione logica. Perciò p non può essere falsa, e perciò, secondo la legge del terzo escluso, deve essere vera.

Per fare un semplice esempio, si consideri la proposizione "non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero". In una dimostrazione per assurdo, cominceremmo a supporre l'opposto: che esiste un numero razionale positivo minimo, diciamo, r₀.

Adesso poniamo x = r₀/2. Risulta che x è un numero razionale, ed è maggiore di zero; e x è minore di r₀. Ma questo è assurdo — contraddice la nostra ipotesi iniziale che r₀ fosse il più piccolo numero razionale positivo. Perciò possiamo concludere che la proposizione originale deve essere vera — "non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero".

Non è raro usare questo tipo di argomentazione con proposizioni come quella dicui sopra, riguardanti la non esistenza di qualche oggetto matematico. Si assume che tale oggetto esista, e quindi si dimostra che ciò condurrebbe a una contraddizione; pertanto, tale oggetto non può esistere. Altri esempi sono, la dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di due e l'argomento diagonale di Cantor.